应用统计硕士(随机变量及其分布)模拟试卷1(题后含答案及解析)

应用统计硕士（随机变量及其分布）模拟试卷1 (题后含答案及解析)

题型有：1. 单选选择题 3. 简答题 4. 计算与分析题

单选选择题

1． 设X为连续型随机变量，若a，b皆为常数，则下列等式中不恒成立的是( )。

A．P(X≥a)＝P(X＝a) B．P(X＝b)＝0 C．P(X≠a)＝1

D．P(X≤b)＝P(X＜b)

正确答案：A

解析：因为X为连续型随机变量，所以有：①P{X≥a}＝1－P{X＜a}；②对于定义区间上任意常数b，均有P{X＝b}＝0；③P{X≠a}＝1－P{X＝a}＝1；④P{X≥b}＝P{X＜b}。 知识模块：随机变量及其分布

2． 下列函数中，可作为某连续型随机变量的分布函数的是( )。 A．F(χ)＝

B．F(χ)＝arctanχ C．

D．F(χ)＝∫-∞χf(χ)dχ，其中∫-∞+∞f(χ)dχ＝1

正确答案：B

解析：由连续型随机变量的分布函数的性质可得：(χ)＝1 而＝0≠1，故排除A项。，故排除C项。 概率密度函数具有两条性质：①f(χ)≥0；②∫-∞+∞dxf(χ)dχ＝1。D项中的f(χ)的正负性未知，所以F(χ)不一定为分布函数。 知识模块：随机变量及其分布

3． 函数sinχ是随机变量ξ的分布密度，如果ξ的取值范围为( )。 A．[0，] B．[0，π] C．[0，] D．[0，2π]

正确答案：A

解析：A项，当χ∈[0，]时sinχ≥0且sinχdχ＝1，所以sinχ可以是随机变量ξ的分布密度； B项，因为∫0χsinχdχ＝2≠1，所以sinχ不是随机变量的分布密度； C项，当χ∈[π，]时，sinχ≤0，所以sinχ不是随机变量的分布密度； D项，当χ∈[π，2π]时，sinχ≤0，所以sinχ不是随机变量的分布密度。 知识模块：随机变量及其分布

4． 下列可以作为离散型随机变量的概率分布的是( )。 A． B． C． D．

正确答案：C

解析：离散型随机变量的概率分布应满足＝1且pi≥0，i＝1，2，…，n，题中只有C项满足：。 知识模块：随机变量及其分布

5． 已知随机变量X与Y相互且都服从正态分布N(μ，)，如果p(X＋Y≤1)＝，则μ等于( )。

A．－1 B．0 C． D．1

正确答案：C

解析：由于随机变量X与Y相互且都服从正态分布，所以Z＝X＋Y～N(2μ，1)。则 p(X＋Y≤1)＝P(Z≤1)＝P 所以1－2μ＝0，即μ＝。 知识模块：随机变量及其分布

6． 设随机变量X和Y，同分布，分布列为，则下列各式中成立的是( )。

A．X＝Y

B．P{X＝Y}＝1 C．P{X＝Y}＝0 D．P{X＝Y}＝1／2

正确答案：D 解析：因为随机变量X和Y相互，且取值只能是1或者－1，所以 P(X＝Y)＝P(X＝Y＝1)＋P(X＝Y＝－1) ＝P(X＝1)P(Y＝1)＋P(X＝－1)P(Y＝－1)＝ 知识模块：随机变量及其分布

7． 下面关于n重贝努里试验的叙述中，错误的是( )。 A．试验包含n个相同的试验

B．每次试验成功的概率P都是相同的 C．试验结果对应于一个离散型随机变量 D．在n次试验中，“成功”的次数对应一个连续型随机变量

正确答案：D

解析：n重贝努力试验的特征：①试验包含n个相同的试验；②每次试验只有两个可能的结果：成功或失败；③出现成功的概率P对每一次实验都是相同的，失败的概率q也不变，且P＋g＝1；④试验是互相的；⑤试验结果对应于一

个离散型随机变量。 知识模块：随机变量及其分布

8． 设χ是参数为n＝4和P＝0．5的二项随机变量，则P(X＜2)为( )。 A．0．2125 B．0．3125 C．0．6875 D．0．7875

正确答案：B 解析：由于P(X＝χ)＝，所以P(X＜2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＝0．3125。 知识模块：随机变量及其分布

9． 已知离散型随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X＝3)＝P(X＝4)，则λ为( )。

A．3 B．2 C．1 D．4

正确答案：D

解析：因为X～P(λ)，所以P(X＝3)＝P(X＝4)，即 解得：λ＝4。 知识模块：随机变量及其分布

10． 假设研究生入学数学考试的及格率为50％。随机地选择8个考生，则恰好有4个人及格的概率为( )。

A．0．27 B．0．5 C．0．30 D．1

正确答案：A

解析：设及格的人数为X，则X～b(8，0．5)，恰好有4个人及格的概率为：P(X＝4)＝C84(0．5)4(1－0．5)4＝0．27。 知识模块：随机变量及其分布

11． 处于正态分布概率密度函数与横轴之间并且大于均值部分的面积为( )。

A．大于0．5 B．－0．5 C．1 D．0．5

正确答案：D

解析：对于正态分布的概率分布函数，当χ<μ时，F(χ)＜0．5；当χ＝μp时，F(χ)＝0．5；当χ＞μ时，F(χ)＞0．5。题中大于均值的面积S＝1－

F(μ)＝1－0．5＝0．5。 知识模块：随机变量及其分布

12． 设随机变量X，Y均服从正态分布，X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，记p1＝P{X≤μ－4}，p2＝P{Y≥μ＋5}，则( )。

A．对任何实数μ，都有p1＝p2 B．对任何实数μ，都有p1＜p2 C．只对μ的个别值，才有p1＝p2 D．对任何实数μ，都有p1＞p2

正确答案：A

解析：已知X～N(μ，42)，Y～N(μ，52) 所以～N(0，1)，～N(0，1)则 所以，对任意的实数μ，均有p1＝p1。 知识模块：随机变量及其分布

13． 若随机变量X～N(μ，σ2)，Z～N(0，1)，则( )。 A． B． C． D．

正确答案：D

解析：μ＝0，σ＝1的正态分布称为标准正态分布。E＝0，，所以服从标准正态分布，故Z＝。 知识模块：随机变量及其分布

14． 假定某公司职员每周的加班津贴服从均值为50元、标准差为10元的正态分布，已知Ф(2)＝0．9773，那么全公司中每周的加班津贴会超过70元的职员比例为( )。

A．0．0228 B．0．3 174 C．0．6826 D．0．9772

正确答案：A

解析：设每周的加班津贴为X，则有： P(X＞70)＝－1P(X≥70)＝1－P ＝1－Ф(2)＝1－0．9772 ＝0．0228 知识模块：随机变量及其分布

15． 设随机变量X的密度函数为，已知P{X＞1}＝，则θ＝( )。 A．1

B．1／1n2 C．1／2 D．1n2

正确答案：B

解析：由于，则：P{X≤1}＝，所以。 知识模块：随机变量及其分布

16． 设随机变量X的分布列为： 则Y＝X2－1的分布列为( )。 A． B． C． D．

正确答案：C

解析：Y＝X2－1可能取的值为－1，0，3，8，则 P(Y＝－1)＝P(X2－1＝－1)＝P(X＝0)＝0．15 P(Y＝0)＝P(X2－1＝0)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝0．45 P(Y＝3)＝P(X2－1＝3)＝P(X＝2)＋P(X＝－2)＝0．35 P(Y＝8)＝P(X2－1＝8)＝P(X＝3)＋P(X＝－3)＝0．05 知识模块：随机变量及其分布

17． 设随机变量X的概率密度为f(χ)＝，则Y＝3X的概率密度为( )。 A． B． C． D．

正确答案：C

解析：设y＝3χ，则y为单调递增函数，反函数为χ＝y。故Y＝3X的概率密度为 知识模块：随机变量及其分布

简答题

18． 概率密度函数和分布函数的联系与区别表现在哪些方面?

正确答案：(1)区别 概率密度函数只是给出了连续型随机变量某一特定值的函数值，这一函数值不是真正意义上的取值概率，连续型随机变量在给定区问内取值的概率对应的是概率密度函数f(χ)曲线(或直线)在该区间上围成的面积，这一特征恰恰意味着连续型随机变量在某一点的概率值为0，因为它对应的面积为0。而分布函数F在χ处的取值，就是随机变量X的取值落在区间(－∞，χ)的概率。 (2)联系 ①F(χ)＝∫-∞χf(χ)dχ；②若f(χ)在χ处连续，则有F′(χ)＝F(χ)。 涉及知识点：随机变量及其分布

19． 正态分布所描述的随机现象有什么特点?沩什么许多随机现象服从或近似服从正态分布?

正确答案：(1)正态分布所描述的随机现象具有如下特点： ①正态曲线的图形是关于χ＝μ的对称钟形曲线，且峰值在χ＝μ处； ②正态分布的两个参数均值μ和标准差σ一旦确定，正态分布的具体形式也就唯一确定，不同参数取值的正态分布构成一个完整的“正态分布族”； ③正态分布的均值μ可以是实数轴上的任意数值，它决定正态曲线的具体位置，标准差σ相同而均值：不同的正态曲线在坐标轴上体现为水平位移； ④正态分布的标准差σ为大于零的实数，它决定正态曲线的“陡峭”或“扁平”程度。σ越大，正态曲线越扁

平；(σ越小，正态曲线越陡峭； ⑤当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，正态曲线的左右两个尾端也无限渐近横轴，但理论上永远不会与之相交； ⑥与其他连续型随机变量相同，正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1。 (2)如果原有总体是正态分布，那么，无论样本量的大小，样本均值的抽样分布都服从正态分布。若原有总体的分布是非正态分布，随着样本量n的增大(通常要求n≥30)，不论原来的总体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布都将趋于正态分布，其分布的数学期望为总体均值μ，方差为总体方差的1／n这就是统计上著名的中心极限定理。因此许多随机现象服从或近似服从正态分布。 涉及知识点：随机变量及其分布

20． 在什么条件下用正态分布近似计算二项分布的概率效果比较好?

正确答案：当样本量n越来越大时，二项分布越来越近似服从正态分布。这时，二项随机变量的直方图的形状接近正态分布的图形形状。 即使对于小样本，当p＝0．5时，二项分布的正态近似仍然相当好，此时随机变量X的分布是相对于其平均值μ＝np对称的。当p趋于0或1时，二项分布将呈现出偏态，但当n变大时，这种偏斜就会消失。一般来说，只要当n大到使np和n(1一p)都大于或等于5时，近似的效果就相当好。 涉及知识点：随机变量及其分布

21． 正态分布为什么需要加以标准化?标准化的意义是什么?

正确答案：因为不同的正态分布形式有不同的参数，要对不同的正态分布求某区间的概率是很困难的。为此，需要对各种正态分布加以标准化，不同的正态分布变换为分布的平均数为0、方差为1的标准正态分布。 数学上可以证明，若随机变量x服从正态分布N(μ，σ2)，则随机变量＝服从标准正态分布，即z～N(0，1)。z＝就是标准化变换。 标准化的意义是可以利用这个标准化变换来计算非标准化正态分布的概率，得到随机变量取值。 涉及知识点：随机变量及其分布

计算与分析题

22． 设随机变量X～N(0，1)，求Y＝X2的概率密度。

正确答案：分别记X，Y的分布函数为Fχ(χ)，FY(y)。由于Y＝X2＞0，故当Y≤0时FY(y)＝0。当y＞0时有： FY(y)＝P(Y≤y)＝P(X2≤y) 将FY(y)关于y求导数，即得Y，的概率密度为： 由X～N(0，1)，其密度函数为： 涉及知识点：随机变量及其分布

23． 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布：

正确答案：由于P{X＝k}＝可得： 因此随着k的增大，P｜X＝k｜先增后降，并且当＝1时达到最大，即k＝λ－1。又λ为整数，可得k＝λ与k＝λ

－1时的P{χ＝k}的值相等。所以k＝λ－1或k＝λ时P{X＝k}最大。 涉及知识点：随机变量及其分布

24． 已知连续型随机变量X密度函数为，且P{1＜X＜3}＝0．250确定常数a和b；求P{X＞1．5}。

正确答案：由概率密度的性质及其定义，有： ∫-∞+∞f(χ)dχ＝∫02(aχ＋b)dχ＝2a＋2b＝1 ① 又P{1＜X＜3}＝∫13f(χ)dχ＝∫12(aχ＋b)dχ＝1．5a＋b＝0．25 ② 联立①②，解得：a＝－0．5，b＝1。 从而，所以 P{X＞1．5}＝(－0．5χ＋1)dχ＝0．0625。 涉及知识点：随机变量及其分布

25． 设随机变数ξ的分布函数为 求相应的密度函数，并求P(ξ≤1)。

正确答案：[1－(1＋χ)e-χ]＝χe-χ，所以相应的密度函数为 P(ξ≤1)＝F(1)＝1－。 涉及知识点：随机变量及其分布

26． 一条食品生产线每8小时一班中出现故障的次数服从平均值为1．5的泊松分布。求： (1)晚班期间恰好发生两次事故的概率。 (2)下午班期间发生少于两次事故的概率。 (3)连续三班无故障的概率。

正确答案：设一条食品生产线每8小时一班中出现故障的次数为X。则X～P(λ)，即P(X＝χ)＝，χ＝1，2，…。 (1)P(X＝2)＝＝0．251； (2)P(X＜2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＝0．5578； (3)每8小时一班中无故障概率为P(X＝0)＝e-1.5，由于三班是相互的，所以连续三班无故障的概率P＝(e-1.5)3＝e-4.5＝0．0111。 涉及知识点：随机变量及其分布

27． 一批电阻器中。有10％是不合格品。如果随机抽取10个电阻器。其中有2个不合格的概率是多少? (1)运用二项分布； (2)运用作为二项分布的逼近泊松分布。

正确答案：设随机变量X为10个电阻器中不合格的个数，则其中有两个不合格的概率为： (1)P(X＝2)＝C102p2q8＝C102×0．12×0．98＝0．1937。 (2)泊松参数λ＝np＝10×0．1＝1，并将其带入泊松分布公式得： P(X＝2)＝＝0．1839 涉及知识点：随机变量及其分布

28． 某公司决定对职员增发“销售代表”奖，计划根据过去一段时期内的销售状况对月销售额最高的5％的职员发放该奖金。已知这段时期每人每个月的平均销售额(单位：元)服从均值为40000元、方差为360000元的正态分布。那么公司应该把“销售代表”奖的最低发放标准定为多少元?

正确答案：设这段时期每人每个月的销售额为X元，该公司应该把“销售代表”的最低发放标准定为χ元。则由题意知，X～N(40000，360000)。则由P(X≥χ)＝5％，即所以Ф＝95％，查标准正态分布表可得：＝1．5，解得χ＝40987

元。即公司应该把“销售代表”奖的最低发放标准定为40987元。 涉及知识点：随机变量及其分布

29． 某公司员工的月工资服从均值为1000元、标准差为100元的正态分布。试计算某员工得到如下周工资的概率： (1)介于950元和1300元之间； (2)超过1125元； (3)低于8110元。

正确答案：因为X～N(1000，1002)，所以 (1)介于950元和1300元之间的概率为： (2)超过1125元的概率为： (3)低于800元的概率为： 涉及知识点：随机变量及其分布