最新版2019-2020年天津市和平区八年级数学上学期期末模拟综合测评及答案解析-精编试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列算式中，你认为错误的是（ ） A．

B．

C． D．

2．三条线段a，b，c长度均为整数且a=3，b=5．则以a，b，c为边的三角形共有（ ） A．4个

B．5个 C．6个

D．7个

3．下列式子正确的是（ ） A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

B．（a﹣b）2=a2﹣b2

C．（a﹣b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2 4．计算

的正确结果是（ ）

A．0 B． C． D．

5．如图，△ABC中，AB+BC=10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则△BCD的周长是（ ）

精品模拟试题

A．6 B．8 C．10 D．无法确定

6．下列运算正确的是（ ） A．a2•a3=a6 B．（a2）3=a5

C．2a2+3a2=5a6 D．（a+2b）（a﹣2b）=a2﹣4b2 7．化简

的结果是（ ）

A．x+1 B． C．x﹣1 D．

8．如果等腰三角形的一个底角为α，那么（ ）

A．α不大于45° B．0°＜α＜90° C．α不大于90° D．45°＜α＜90° 9．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）

A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC

10．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）

精品模拟试题

A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5

11．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

12．小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x本笔记本，则根据题意可列方程（ ） A．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．要使分式

有意义，则x应满足的条件是 ．

=1 B．

=1

C．

=1 D．

=1

14．把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是 ．

15．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配

精品模拟试题

一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 去玻璃店．

16．等腰三角形的一边长是6，另一边长是3，则周长为 ． 17．已知a＞b，如果+=，ab=2，那么a﹣b的值为 ．

18．如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 ．

三、计算题（本大题共2小题，共24分） 19．（16分）（1）（1﹣

）÷

．

（2）+÷．

（3）（﹣）÷（1﹣）

（4）﹣a﹣1．

20．（8分）分解因式：

（1）1﹣a2﹣b2﹣2ab；

精品模拟试题

（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．

四、解答题（本大题共4小题，共22分）

21．（4分）如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，求△ABD的周长．

22．（4分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．

23．（4分）王师傅检修一条长600米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？

24．（10分）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E． 证明：DE=BD+CE．

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三

精品模拟试题

点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

精品模拟试题

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列算式中，你认为错误的是（ ） A．

B．

C． D．

【考点】分式的乘除法；分式的加减法．

【分析】A、利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断； B、利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到结果，即可做出判断；

C、原式通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式约分得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、原式=

=1，本选项正确；

B、原式=1××=，本选项错误；

C、原式==﹣，本选项正确；

D、原式=故选B．

•=，本选项正确．

精品模拟试题

【点评】此题考查了分式的乘除法，分式的乘除法的关键是约分，约分的关键是找公因式．

2．三条线段a，b，c长度均为整数且a=3，b=5．则以a，b，c为边的三角形共有（ ） A．4个

B．5个 C．6个

D．7个

【考点】三角形三边关系．

【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边c的范围，根据c的值为整数，即可确定c的值，从而确定三角形的个数．

【解答】解：∵c的范围是：2＜c＜8， ∴c的值可以是：3、4、5、6、7，共5个数， 因而由a、b、c为边可组成5个三角形． 故选B．

【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围．

3．下列式子正确的是（ ） A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

B．（a﹣b）2=a2﹣b2

C．（a﹣b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2 【考点】完全平方公式．

精品模拟试题

【分析】根据整式乘法中完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，即可作出选择．

【解答】解：A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故A选项正确； B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故B选项错误； C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故C选项错误； D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故D选项错误； 故选：A．

【点评】本题考查了完全平方公式，关键是要了解（x﹣y）2与（x+y）2展开式中区别就在于2xy项的符号上，通过加上或者减去4xy可相互变形得到． 4．计算

的正确结果是（ ）

A．0 B． C． D．

【考点】分式的加减法．

【分析】对异分母分式通分计算后直接选取答案． 【解答】解：原式=

=

，故选C．

【点评】异分母分式加减，必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．

5．如图，△ABC中，AB+BC=10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则△BCD的周长是（ ）

精品模拟试题

A．6 B．8 C．10 D．无法确定

【考点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．

【分析】垂直平分线可确定两条边相等，然后再利用线段之间的转化进行求解．

【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC， △BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD=10 故选C．

【点评】本题主要考查垂直平分线性质和等腰三角形的知识点，熟练掌握等腰三角形的性质．

6．下列运算正确的是（ ） A．a2•a3=a6 B．（a2）3=a5

C．2a2+3a2=5a6 D．（a+2b）（a﹣2b）=a2﹣4b2

【考点】平方差公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A，根据幂的乘方，可判断B，根据合并同类项，可判断C，根据平方差公式，可判断D． 【解答】解：A、底数不变指数相加，故A错误； B、底数不变指数相乘，故B错误； C、系数相加字母部分不变，故C错误；

精品模拟试题

D、两数和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，故D正确； 故选：D．

【点评】本题考查了平方差，利用了平方差公式，同底数幂的乘法，幂的乘方．

7．化简

的结果是（ ）

A．x+1 B． C．x﹣1 D．

【考点】分式的加减法．

【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式=故选A

【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

8．如果等腰三角形的一个底角为α，那么（ ）

A．α不大于45° B．0°＜α＜90° C．α不大于90° D．45°＜α＜90° 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．

【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理进行分析即可．

【解答】解：等腰三角形的底角相等，一个底角是α，则另一底角也一定是α，根据三角形的内角和定理得三个内角的和是180°，因而两底角的和2α一定满足：0＜2α＜180°，则0°＜α＜90°．故选B．

【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理及等腰三角形的性质的运用．

精品模拟试题

﹣===x+1．

9．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）

A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC

【考点】全等三角形的判定．

【分析】本题可以假设A、B、C、D选项成立，分别证明△ABC≌△DEF，即可解题．

【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A=∠D，

（1）AB=DE，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故A选

项错误；

（2）∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故B选

项错误；

（3）EF=BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；故C选项正确；

（4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴

△ABC≌△DEF，故D选项错误； 故选：C．

精品模拟试题

【点评】本题考查了全等三角形的不同方法的判定，注意题干中“不能”是解题的关键．

10．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）

A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5

【考点】角平分线的性质．

【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．

【解答】解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C． 故选C．

【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的．

11．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）

精品模拟试题

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【考点】等腰三角形的判定与性质．

【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形． 【解答】解：∵AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形； ∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°， ∴∠A=∠ABD=36°， ∴BD=AD，

∴△ABD是等腰三角形；

在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°， ∴∠C=∠BDC=72°， ∴BD=BC，

∴△BCD是等腰三角形；

精品模拟试题

∵BE=BC， ∴BD=BE，

∴△BDE是等腰三角形；

∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°， ∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°， ∴∠A=∠ADE， ∴DE=AE，

∴△ADE是等腰三角形； ∴图中的等腰三角形有5个． 故选D．

【点评】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．

12．小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x本笔记本，则根据题意可列方程（ ）

精品模拟试题

A． =1 B． =1 C． =1 D． =1

【考点】由实际问题抽象出分式方程．

【分析】由设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+2）本，然后可求得两次每本笔记本的价格，由等量关系：每本比上月便宜1元，即可得到方程． 【解答】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+2）本， 根据题意得：即：

﹣

﹣=1．

=1，

故选B．

【点评】此题考查了分式方程的应用．注意准确找到等量关系是关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．要使分式

有意义，则x应满足的条件是 x≠﹣1，x≠2 ．

【考点】分式有意义的条件．

【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，（x+1）（x﹣2）≠0， 解得x≠﹣1，x≠2． 故答案为：x≠﹣1，x≠2．

【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

精品模拟试题

14．把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是 a（x+a）2 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】首先提取公因式a，然后将二次三项式利用完全平方公式进行分解即可．

【解答】解：ax2+2a2x+a3 =a（x2+2ax+a2） =a（x+a）2， 故答案为：a（x+a）2

【点评】本题考查了因式分解的知识，解题的关键是能够首先确定多项式的公因式，难度不大．

15．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 ③ 去玻璃店．

【考点】全等三角形的应用．

【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．

【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；

精品模拟试题

第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去． 故答案为：③．

【点评】这是一道考查全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．

16．等腰三角形的一边长是6，另一边长是3，则周长为 15 ． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．

【分析】本题应分为两种情况3为底或6为底，还要注意是否符合三角形三边关系．

【解答】解：∵等腰三角形的一边长为3，另一边长为6， ∴有两种情况：

①6为底，3为腰，而3+3=6，那么应舍去； ②3为底，6为腰，那么6+6+3=15； ∴该三角形的周长是6+6+3=15． 故答案为：15．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．

17．已知a＞b，如果+=，ab=2，那么a﹣b的值为 1 ．

精品模拟试题

【考点】完全平方公式；分式的加减法．

【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，将ab的值代入求出a+b的值，再利用完全平方公式即可求出a﹣b的值． 【解答】解： +=将ab=2代入 得：a+b=3，

∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=9﹣8=1， ∵a＞b， ∴a﹣b＞0， 则a﹣b=1． 故答案为：1

【点评】此题考查了完全平方公式，以及分式的加减法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

18．如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 120°或75°或30° ．

=，

【考点】等腰三角形的判定．

【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE=CE，OC=OE，OC=CE，

精品模拟试题

根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．

【解答】

解：∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC=30°，

①当E在E1时，OE=CE， ∵∠AOC=∠OCE=30°，

∴∠OEC=180°﹣30°﹣30°=120°； ②当E在E2点时，OC=OE，

则∠OCE=∠OEC=（180°﹣30°）=75°； ③当E在E3时，OC=CE， 则∠OEC=∠AOC=30°； 故答案为：120°或75°或30°．

【点评】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．

三、计算题（本大题共2小题，共24分）

19．（16分）（2016秋•和平区期末）（1）（1﹣

）÷

．

（2）+÷．

精品模拟试题

（3）（﹣）÷（1﹣）

（4）﹣a﹣1．

【考点】分式的混合运算．

【分析】（1）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行因式分解和约分．

（2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行因式分解和约分． （3）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行因式分解和约分． （4）根据分式的加减法法则进行计算，注意通分． 【解答】解：（1）（1﹣

）÷

．

==1 （2）

×

+÷

=+×

=﹣

=

=

精品模拟试题

（3）（﹣）÷（1﹣）

=×

=×

=

（4）﹣a﹣1

=

=

【点评】本题考查了分式的混合运算、分式的约分、通分以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的关键..

20．分解因式：

（1）1﹣a2﹣b2﹣2ab； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．

【考点】因式分解-分组分解法；提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】（1）原式后三项提取﹣1，利用完全平方公式及平方差公式分解即可；

（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：（1）原式=1﹣（a+b）2=（1+a+b）（1﹣a﹣b）；

（2）原式=9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）=（x﹣y）（9a2﹣4b2）=（x﹣y）（3a+2b）

精品模拟试题

•（3a﹣2b）．

【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

四、解答题（本大题共4小题，共22分）

21．如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，求△ABD的周长．

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】直接利用翻折变换的性质得出AE=EC，进而得出△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+CD+BC﹣CD=AB+BC，进而得出答案． 【解答】解：由图形和题意可知：AD=DC，AE=CE=4cm， 则AB+BC=30﹣8=22（cm），

故△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+CD+BC﹣CD=AB+BC， 即可求出周长为22cm．

【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，正确得出AB+BC的长是解题关键．

22．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE

精品模拟试题

的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】首先在AB上截取AF=AD，由AE平分∠PAB，利用SAS即可证得△DAE≌△FAE，继而可证得∠EFB=∠C，然后利用AAS证得△BEF≌△BEC，即可得BC=BF，继而证得AD+BC=AB． 【解答】证明：在AB上截取AF=AD， ∵AE平分∠PAB， ∴∠DAE=∠FAE， 在△DAE和△FAE中，

∵，

∴△DAE≌△FAE（SAS）， ∴∠AFE=∠ADE， ∵AD∥BC，

∴∠ADE+∠C=180°， ∵∠AFE+∠EFB=180°， ∴∠EFB=∠C， ∵BE平分∠ABC，

精品模拟试题

∴∠EBF=∠EBC， 在△BEF和△BEC中，

∵，

∴△BEF≌△BEC（AAS）， ∴BC=BF，

∴AD+BC=AF+BF=AB．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

23．王师傅检修一条长600米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？ 【考点】分式方程的应用．

【分析】设原计划每小时检修管道为xm，故实际施工每天铺设管道为1.2xm．等量关系为：原计划完成的天数﹣实际完成的天数=2，根据这个关系列出方程求解即可．

【解答】解：设原计划每小时检修管道x米．

精品模拟试题

由题意，得﹣=2．

解得x=50． 经检验，x=50是原方程的解．且符合题意． 答：原计划每小时检修管道50米．

【点评】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．其中找到合适的等量关系是解决问题的关键．

24．（10分）（2013•东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，

AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．

证明：DE=BD+CE．

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

精品模拟试题

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．

【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，

则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE； （2）与（1）的证明方法一样；

（3）由前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°，则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，则∠DBF=∠FAE，

利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．

【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA=∠CEA=90°， ∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°， ∵∠BAD+∠ABD=90°，

精品模拟试题

∴∠CAE=∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中

，

∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）成立．

∵∠BDA=∠BAC=α，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α， ∴∠CAE=∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中

，

∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE；

（3）△DEF是等边三角形． 由（2）知，△ADB≌△CEA，

精品模拟试题

BD=AE，∠DBA=∠CAE，

∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60°，

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF=∠FAE， ∵BF=AF

在△DBF和△EAF中

，

∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°， ∴△DEF为等边三角形．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．

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