广东省兴宁市第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试题2015.5

文科数学

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

i（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） 1. 复数(34i)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限

D．第四象限

2、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ） A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角

Ｃ．假设没有一个钝角 Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 3、在下列命题中，真命题的个数是（ ）

①若K的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；

^^^

②由样本数据得到的回归直线y＝bx＋a必过样本点的中心(x，y)； ③残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；

④若复数zm1(m1)i为纯虚数，则实数m1. A．0

4．在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2 8名男性中有1 560名持反对意见，2 452名女性中有1 200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力( )

A．平均数与方差 B．回归直线方程 C．性检验 D．概率 5．函数f(x)＝＋x－3x－4在上的最小值是( )

3

1710A．－ B．－ C．－4 D．－

333

6．若函数f (x)＝x－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是( )

A．(0,1) B．(－∞，1)

3

2

2B． 1 C．2 D．3

x3

2

C．(0，＋∞) 7. 函数y=

1 D.0， 2

12

x㏑x的单调递减区间为（ ） 2C．（1,+∞) D．(0,+∞)

A．(1,1) B．(0,1)

x2y28、设F1，F2分别是双曲线221的左、右焦点。若双曲线上存在点A，

ab使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为 （ ） (A)

5 2 (B)

10 2 (C)

15 22 (D) 5 9、已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1，抛物线y4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ( ) A.2 B.3 C.

3711 D.10． 已知“整数对”按如下规

165律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，„，则第60个“整数对”是( ) A．(7，5) C．(2，10)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

2211．若(a2i)ibi，其中a、bR，i是虚数单位，则ab________。

B．(5，7) D．(10，1)

12．已知等差数列{an}中，有

a11＋a12＋„＋a20a1＋a2＋„＋a30

10

＝30

，则在等比数列{bn}中，会有

类似的结论：_____________________ ．

13、曲线yx2x4x2在点(1，一3)处的切线方程___________ . 14．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分12分）

3

，且G上一点到G的两个焦2

32

在ABC中，已知sin(1π11A),cos(πB).

2214 （1）求sinA与B的值；

（2）若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a5，求b，c的值.

16、（本小题12分）通过市场调查，得到某产品的资金投入x（万元）与获得的利润y（万

元）的数据，如下表所示： (I)

根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程ybxa

^资金投入x 利润y 2 3 4 2 3 5 5 6 9 6 （II）现投入资金10（万元），求估计获得的利润为多少万元.

ˆbxa，其中b参考公式：回归直线的方程是：yxyii1nninxynx2aybx.

，

xi12i

17．（本小题满分14分）

D如图所示，在所有棱长都为2a的三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，点

为棱AB的中点．

(1)求证：AC1∥平面CDB1； (2)求四棱锥C1ADB1A1的体积．

18．（本小题满分14分）

已知数列an的前n项和Sn满足an12Sn6，且a16． （1）求a2的值；

C

A D B

C1 B1

A1

（2）求数列an的通项公式； （3）设bn

19.(本小题满分14分) 已知fxlnx,gx2an(31)(Sn2)n，证明：b1b2bn1

1312xxmxn，直线l与函数fx,gx的图象都相切于点321,0．

（1）求直线l的方程及g(x)的解析式；

（2）若hxfxg'x（其中g'x是gx的导函数），

求函数hx的极大值.

20.（本小题满分14分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

3，且经过点M(4,1). 直线2l:yxm交椭圆于不同的两点A,B.

(1)求椭圆的方程； (2)求m的取值范围；

(3)若直线l不过点M，求证：直线MA,MB与x轴围成一个等腰三角形.

高二年级下期中段考试文科数学试题参

一、 选择题：ABCCA DBBAB

二、 填空题：

11、_____5_____ 12：

13. 5xy20 14. ＋＝1

369

三、 解答题：

15 解：（1）Qsin(A)cosA，cosA10

b11b12„b20＝

30

b1b2„b30

x2y2

π211，„„„ 2分 14又Q0Aπ，„„„„ 3分 sinA53.„„„„„„4分 141πQcos(πB)cosB，且0Bπ， B.„„„„„„„6分

23abasinB7，„„„8分 （2）法一：由正弦定理得， bsinAsinBsinA另由bac2accosB得4925c5c， 解得c8或c3（舍去），„„11分

2222b7，c8.„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

法二：由正弦定理得

abasinB7，„„„ 8分 ， bsinAsinBsinA又QcosCcosABcos(AB)，

sinAsinBcosAcosB5331111，„„„„10分 14214271， 7c2a2b22abcosA得c22549257即c8，„„„„„„11分

b7，c8.„„„„„„„„„„„12分

【说明】本题主要考查解三角形的基础知识，正、余弦定理，诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力.

16．解： (I)x23569234565„„„„3分 4，y55,

bxyii1ni1ninxy2xi2nx23334556695451.7 ,„„ 6 分

49162536516^aybx1.8，y1.7x1.8 .„„„„„„„„9分

（Ⅱ）当x10（万元），y15.2（万元）.„„„„„„„„„11分

所以现投入资金10（万元），估计获得的利润为15.2万元„„„12分

17、(本题满分14分)

解：(1)连结BC1，设BC1与B1C交于点E，„„„„1分

则点E是BC1的中点，连结DE，„„„„2分 因为D点为AB的中点， 所以DE是ABC1的中位线，

所以AC1∥DE， „„„„„„4分

E C1

A1 B1

^

C

D A B

因为DE平面CDB1，AC1面CDB1，„„„5分 所以AC1∥平面CDB1. „„„„„„6分 (2)取线段A1B1中点M，连结C1M， „„„„„„7分

M为线段A1B1中点， ∵ C1A1C1B1，点

∴ C1MA1B1. „„„„„„9分 又A1A平面ABC

即A1A平面C1A1B1，C1M平面C1A1B1 ∴ A1AC1M， „„„„11分 ∵ A1AA1B1A1，

∴ C1M平面ADB1A1，则C1M是四棱锥C1ADB1A1的高 „„12分

1(2a+a)2aVC1-ADB1A1=3a=3a3. „„„„14分

3218.解：（1）当n1时，a22S162a1618，a218 „„„„2分 （2）由an12Sn6①，得an2Sn16(n2)②

①－②：得an1an2Sn2Sn1 „„„„„4分

即an13an(n2)， „„„„„6分

又a16，a218，所以a23a1 „„„„7分

∴数列an是以6为首项，公比为3的等比数列，∴an63n123n „„„8分 （3）由（2）得：an123n1， „„„„9分

故Sn1an133n13， „„„11分 2

2an43n2(3n11)(3n1)11bnnn2n1nn1nn1(31)(Sn2)(31)(31)(31)(31)3131 „„„„„„„„„„„„„„„„„12分

b1b2bn2(111111) 1223nn1313131313131112(n1)1. „„„„„„„„„„14分.

231

19.(本小题满分14分)

解：（1）直线l是函数fxlnx在点1,0处的切线，故其斜率kf'11， ∴直线l的方程为yx1. „„„„„„„2分 又因为直线l与gx的图象相切，且切于点1,0， ∴gx1312xxmxn在点1,0的导函数值为1. 32m1g101，„„„„„„„4分 g'11n6∴gx13121xxx „„„„„6分 3262（2）hxfxg'xlnxxx1x0 „„„„„„„7分

2x1(x1)112x2x∴h'x2x1 „„„„„„„9分

xxx令h'x0，得x当0x当x1或x1（舍）„„„„„„„10分 21时，h'x0，hx递增； 21时，h'x0，hx递减 „„„„12分 21111时，hx取得极大值，h(x)极大hln„„14分 2242因此，当x

20.（本小题满分14分）

x2y2(1) 由已知椭圆焦点在x轴上可设椭圆的方程为221，（ab0）

ab因为e3，所以a24b2， ① 216121， ② 2ab又因为过点M(4,1)，所以

x2y2联立①②解得b5,a20，故椭圆方程为1. „„„„4分

20522x2y2(2) 将yxm代入1并整理得5x28mx4m2200，

205因为直线与椭圆有两个交点，

所以(8m)245(4m220)0，解得5m5. „„„„8分 (3) 设直线MA,MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1k20即可.

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

8m4m220则x1x2. „„„„10分 ,x1x255所以k1k2y11y21(y11)(x24)(y21)(x14) x14x24(x14)(x24)分子(x1m1)(x24)(x2m1)(x14)2x1x2(m5)(x1x2)8(m1)2(4m220)8m(m5)8(m1)055所以k1k20

，

所以直线MA,MB与x轴围成一个等腰三角形． „„„14分