集合的概念难题汇编附答案之欧阳生创编
时间：2021.02.08 创作人：欧阳生 一．选择题（共11小题）
1．（•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（ ）
A．T ，V中至少有一个关于乘法是封闭的 B． T，V中至多有一个关于乘法是封闭的 C． T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．T ，V中每一个关于乘法都是封闭的
2．（•湖北）设P和Q是两个集合，界说集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果
A．{ x|0＜x＜1}
，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q即是（ ）
B． {x|0＜x≤1}
C． {x|1≤x＜2}
D． {x|2≤x＜3}
3．（•延庆县一模）将正偶数集合{2，4，6，…}从小到年夜按第n组有2n个偶数进行分组如下： 则位于（ ）
A．第 7组
B． 第8组
C． 第9组
D． 第10组
4．（•闸北区一模）设A是整数集的一个非空子集，对k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A={1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有（ ）
A．1 0个
B． 11个
C． 12个
D． 13个
5．用C（A）暗示非空集合A中的元素个数，界说A*B=
，若A={1，2}，B={x||x2+ax+1|=1}，
且A*B=1，由a的所有可能值构成的集合是S，那么C（S）即是（ ）
A．4
B． 3
C． 2
D． 1
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6．（•宁波模拟）设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3﹣a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为（ ）
A．7 8
B． 76
C． 84
D． 83
7．下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合； （3）
这些数组成的集合有5个元素；
（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．
A．0 个
B． 1个
C． 2个
D． 3个
8．若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={﹣1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）
A．1 5
B． 16
C． 28
D． 25
9．界说A⊗B={z|z=xy+，x∈A，y∈B}．设集合A={0，2}，B={1，2}，C={1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为（ ）
A．3
B． 9
C． 18
D． 27
10．已知元素为实数的集合A满足条件：若a∈A，则中所有元素的乘积为（ ）
A．﹣ 1
B． 1
C． 0
±1 D．
，那么集合A
11．设集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a=x0+y0，b=x0•y0，则（ ）
A．a ∈P，b∈Q
B． a∈Q，b∈P
C． a∈P，b∈P
D． a∈Q，b∈Q
二．填空题（共14小题）
12．（•虹口区一模）界说集合A，B的一种运算“*”，A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．若A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B中所有元素的和 _________ ．
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13．（•上海模拟）已知集合值规模是 _________ ．
，且2∈A，3∉A，则实数a的取
14．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是 _________ ．
15．（•四川）非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算： ①G={非负整数}，⊕为整数的加法． ②G={偶数}，⊕为整数的乘法．
③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法． ④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法． ⑤G={虚数}，⊕为单数的乘法．
其中G关于运算⊕为“融洽集”的是 _________ ．（写出所有“融洽集”的序号）
16．（•安徽模拟）给定集合A，若对任意a，b∈A，有a+b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下五个结论：
①集合A={﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合； ②正整数集是闭集合；
③集合A={n|n=3k，k∈Z}是闭集合；
④若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合；
⑤若集合A1，A2为闭集合，且A1⊆R，A2⊆R，则存在c∈R，使得c∉（A1∪A2）．
其中正确的结论的序号是 _________ ．
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17．（•绵阳三模）设集合A⊆R，对任意a、b、c∈A，运算“⊕具有如下性质：
（1）a⊕b∈A； （2）a⊕a=0； （3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c 给出下列命题： ①0∈A
②若1∈A，则（1⊕1）⊕1=0； ③若a∈A，且a⊕0=a，则a=0；
④若a、b、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，则a=c．
其中正确命题的序号是 _________ （把你认为正确的命题的序号都填上）．
18．已知集合A={a1，a2，…，an，n∈N*且n＞2}，令TA={x|x=ai+aj}，ai∈A，aj∈A，1≤i≤j≤n，card（TA）暗示集合TA中元素的个数． ①若A={2，4，8，16}，则card（TA）= _________ ；
②若ai+1﹣ai=c（ 1≤i≤n﹣1，c为非零常数），则card（TA）= _________ ． 19．设集合M={1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si={ai，bi}，Sj={aj，bj}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有
（min{x，y}暗示两个数x，y
中的较小者），则k的最年夜值是 _________ ． 20．设集合A=
，B=
，函数f（x）=
若x0∈A，
且f[f（x0）]∈A，则x0的取值规模是 _________ ．
21．（文）设集合A⊆R，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合A的聚点．则在下列集合中： （1）Z+∪Z﹣（2）R+∪R﹣（3）
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（4）
以0为聚点的集合有 _________ （写出所有你认为正确结论的序号）． 22．用描述法暗示图中的阴影部分（包含鸿沟） _________ ． 23．设_________ ．
24．如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，即b∈Q．则下列元素：①③序号）
25．用列举法暗示集合：三．解答题（共5小题）
26．（•北京）已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数辨别为m和n．若对任意的a∈A，总有﹣a∉A，则称集合A具有性质P．
（I）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T； （II）对任何具有性质P的集合A，证明：
；
= _________ ．
；④
；②
；
，其中a，
，则A∩B用列举法可暗示为
．其中是集合M的元素是 _________ ．（填
（III）判断m和n的年夜小关系，并证明你的结论．
27．对集合A={x|x=m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}，因为16=52﹣32，所以16∈A，研究下列问题：
（1） 1，2，3，4，5，6六个数中，哪些属于A，哪些不属于A，为什么？
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（2） 讨论集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素属于A，试给出一个一般的结论，不必证明．
28．已知集合A={x|x=m+n，m，n∈Z}． （1）设x1=
，x2=
，x3=（1﹣3）2，试判断x1，x2，x3
与集合A之间的关系；
（2）任取x1，x2∈A，试判断x1+x2，x1•x2与A之间的关系． 29．已知集合A的全体元素为实数，且满足若a∈A，则（1）若a=2，求出A中的所有元素；
（2）0是否为A中的元素？请再举例一个实数，求出A中的所有元素； （3）根据（1）、（2），你能得出什么结论？
30．设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10﹣x∈S．
（1）请你写出合适条件，且辨别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；
（2）是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由；
（3）由（1）、（2）的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论（要求至少写出两个结论）？
9月犀利哥的高中数学组卷
参考谜底与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．（•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，
∈A．
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且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（ ）
A． T，V中至少有一个关于乘法是封闭的 B． T，V中至多有一个关于乘法是封闭的 C． T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D． T，V中每一个关于乘法都是封闭的 考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 压轴题；阅读型；新界说．
阐发： 本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分红两个互不相交的非空子集T，V
的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行阐发排除即可．
解答： 解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；
若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D； 从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确 故选A．
点评： 此题考查学生理解新界说的能力，会判断元素与集合的关系，是一道比较难的题型．
2．（•湖北）设P和Q是两个集合，界说集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果
，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q即是（ ）
A． {x|0＜x＜1} B． {x|0＜x≤1} C． {x|1≤x＜2} D． {x|2≤x＜3} 考元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法． 点：
专计算题． 题：
阐首先辨别对P，Q两个集合进行化简，然后依照P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，求出P﹣Q即可． 发： 解
解：∵ 答：
化简得：P={x|0＜x＜2} 而Q={x||x﹣2|＜1}
化简得：Q={x|1＜x＜3}
∵界说集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}， ∴P﹣Q={x|0＜x≤1} 故选B
点本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考核对集合知识的熟练掌握，属于基础题． 评：
3．（•延庆县一模）将正偶数集合{2，4，6，…}从小到年夜按第n组有2n个偶数进行分组如下： 则位于（ ）
A． 第7组 B． 第8组 C． 第9组 考元素与集合关系的判断；集合的暗示法；等差数列；等比数列． 点：
专计算题． 题：
D． 第10组
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阐首先将正偶数集合按年夜小顺序排列是一个等差数列，先求出是此数列中的第几项，然后按第n组有2n个偶发： 数进行分组，每组中集合元素的个数正好是等比数列，求出 解解：正偶数集按从小到年夜的顺序排列组成数列2，4，6…2n 答： 2n=，n=1005
由第一组{2，4}的元素是2个
第二组{6，8，10，12}的元素是4个
第三组{14，16，18，20，22，24，26，28}的元素是8个 …
第m组的元素是2n个2+4+8+…+2n=
=2m+1﹣2
2m+1﹣2＜1005，解得2m＜503.5
m∈z，28=256，29=512，256＜503.5＜512 所以，m=9， 故选C．
点此题概略是一个集合题，实际上考查等差数列的通项公式和等比数列求和公式，但过程中一定要思路清晰，评： 不然容易出错．
4．（•闸北区一模）设A是整数集的一个非空子集，对k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A={1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有（ ）
A． 10个 B． 11个 C． 12个 D． 13个 考元素与集合关系的判断． 点：
专综合题；压轴题． 题：
阐本题考查的是新界说和集合知识联合的问题．在解答时首先要明确集合A的所有子集是什么，然后严格依照发： 题目傍边对“孤立元”的界说逐一验证即可．固然，如果依照“孤立元”呈现的情况逐一排查亦可． 解解：“孤立元”是1的集合：{1}；{1，3，4}；{1，4，5}；{1，3，4，5}； 答： “孤立元”是2的集合：{2}；{2，4，5}；
“孤立元”是3的集合：{3}；
“孤立元”是4的集合：{4}；{1，2，4}；
“孤立元”是5的集合：{5}；{1，2，5}；{2，3，5}；{1，2，3，5}．
点本题考查的是集合知识和新界说的问题．在解答过程傍边应充分体会新界说问题概念简直定性，与集合子集评： 个数、子集构成的规律．此题综合性强，值得同学们认真总结和归纳．
5．用C（A）暗示非空集合A中的元素个数，界说A*B=
，若A={1，2}，B={x||x2+ax+1|=1}，
且A*B=1，由a的所有可能值构成的集合是S，那么C（S）即是（ ）
A． 4 B． 3 考元素与集合关系的判断． 点：
专计算题；压轴题；新界说；分类讨论． 题：
C． 2
D． 1
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阐根据A={1，2}，B={x||x2+ax+1|=1}，且A*B=1，可知集合B要么是单位素集合，要么是三元素集合，然后对发： 方程|x2+ax+1|=1的根的个数进行讨论，即可求得a的所有可能值，进而可求C（S）． 解解：|x2+ax+1|=1⇔x2+ax+1=1 或x2+ax+1=﹣1， 答： 即x2+ax=0 ①
或x2+ax+2=0 ②， ∵A={1，2}，且A*B=1，
∴集合B要么是单位素集合，要么是三元素集合，
1°集合B是单位素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根， ∴a=0；
2°集合B是三元素集合，则
方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，
即
，解得a=±2
，
点评：
综上所述a=0或a=±2， ∴C（S）=3． 故选B．
此题是中档题．考查元素与集合关系的判断，以及学生的阅读能力和对新界说的理解与应用．
6．（•宁波模拟）设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3﹣a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为（ ）
A． 78 B． 76 C． 84 D． 83 考元素与集合关系的判断． 点：
专计算题． 题：
阐从集合S中任选3个元素组成集合A，一个能组成C93个，再把不合适条件的去失落，就获得满足条件的集发： 合A的个数．
解解：从集合S中任选3个元素组成集合A，一个能组成C93个， 答： 其中A={1，2，9}不合条件，其它的都合适条件，
所以满足条件的集合A的个数C93﹣1=83． 故选D．
点本题考查元素与集合的关系，解题时要认真审题，仔细思考，认真解答． 评：
7．下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合； （3）
这些数组成的集合有5个元素；
（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．
A． 0个
B． 1个
C． 2个
D． 3个
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考集合的含义． 点：
专计算题． 题：
阐（1）（3）中由集合元素的性质：确定性、互异性可知毛病；（2）中注意集合中的元素是什么；（4）中注意x=0发： 或y=0的情况． 解解：（1）中很小的实数没有确定的标准，不满足集合元素简直定性；
答： （2）中集合{y|y=x2﹣1}的元素为实数，而集合{（x，y）|y=x2﹣1}的元素是点；
（3）有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个元素； （4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}中还包含实数轴上的点． 故选A
点本题考查集合元素的性质和集合的暗示，属基本概念的考查． 评：
8．若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={﹣1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）
A． 15 B． 16 C． 28 D． 25 考元素与集合关系的判断． 点：
专综合题；压轴题；新界说． 题： 阐
先找出具有伙伴关系的元素：﹣1，1，、2，、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空发：
伙伴关系集合，
利用组合知识求解即可． 解
解：具有伙伴关系的元素组有﹣1，1，、2，、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空答：
伙伴关系集合，
个数为C41+C42+C43+C44=15 故选A
点本题考查集合的子集问题、排列组合等知识，考查学生利用所学知识阐发问题、解决问题的能力． 评：
9．界说A⊗B={z|z=xy+，x∈A，y∈B}．设集合A={0，2}，B={1，2}，C={1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为（ ）
A． 3 B． 9 C． 18 D． 27 考元素与集合关系的判断． 点：
专新界说． 题：
阐首先根据题意，求出A⊗B中的元素，然后求出（A⊗B）⊗C中所含的元素，最后求和即可． 发：
解解：由题意可求 答： （A⊗B）中所含的元素有0，4，5，
则（A⊗B）⊗C中所含的元素有0，8，10， 故所有元素之和为18． 故选C
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点本题考查元素与集合关系的判断，通过集合间的关系直接判断最后求和即可，属于基础题． 评：
10．已知元素为实数的集合A满足条件：若a∈A，则中所有元素的乘积为（ ）
，那么集合A
±1 A． ﹣1 B． 1 C． 0 D．
考元素与集合关系的判断． 点：
专计算题；新界说． 题： 阐
根据若a∈A，则，依据界说令a=代入进行求解，依次进行赋值代入发：
集合A中元素所有的形式全部求出，再求出它们的乘积． 解解：由题意知，若a∈A，则， 答：
进行化简，把
令a=，代入==；令a=代入==，
令a=，代入==a，
A={a，，，，}，则所有元素的乘积为1，
点评：
故选B．
本题主要考查集合的应用，题目比较新颖，以及阅读题意的能力，有一定的难度，主要对集合元素的理解．
11．设集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a=x0+y0，b=x0•y0，则（ ）
A． a∈P，b∈Q B． a∈Q，b∈P C． a∈P，b∈P D． a∈Q，b∈Q 考元素与集合关系的判断． 点：
专计算题． 题：
阐据集合中元素具有集合中元素的属性设出x0，y0，求出x0+y0，x0•y0并将其化简，判断其具有Q，P中哪一发： 个集合的公共属性． 解解：∵x0∈P，y0∈Q，
答： 设x0=2k﹣1，y0=2n，n，k∈Z，
则x0+y0=2k﹣1+2n=2（n+k）﹣1∈P， x0y0=（2k﹣1）（2n）=2（2nk﹣n），故x0y0∈Q． 故a∈P，b∈Q， 故选A．
点本题考查集合中的元素具有集合的公共属性、元素与集合关系的判断、等基础知识，考查化归与转化思想．属评： 于基础题．
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二．填空题（共14小题）
12．（•虹口区一模）界说集合A，B的一种运算“*”，A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．若A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B中所有元素的和 14 ．
考点： 集合的含义． 专题： 新界说．
阐发： 由A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}，A={1，2，3}，B={1，2}，知A*B={2，3，4，5}，由此能求出集合A*B
中所有元素的和．
解答： 解：∵A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．
A={1，2，3}，B={1，2}， ∴A*B={2，3，4，5}， 2+3+4+5=14． 故谜底为：14．
点评： 本题考查集合的概念，解题时要认真审题，注意新界说的灵活运用．
13．（•上海模拟）已知集合值规模是
考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 计算题；转化思想． 阐发：
根据集合
，且2∈A，3∉A，则实数a的取
．
，且2∈A，3∉A，知道2满足不等式，3不满足该不等式，即
，解此不等式组即可求得实数a的取值规模．
解答：
解：∵，且2∈A，3∉A，
∴，
解得：故谜底为
．
．
点评： 此题是个中档题．考查了元素与集合之间的关系，以及分式不等式的求解，对题意的正确理解和转化是解
决此题的关键．
14．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是 6 ．
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考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 计算题；压轴题．
阐发： 由S={1，2，3，4，5，6}，结合x∈A时，若有x﹣1∉A，且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，我们
用列举法列出满足条件的所有集合，即可获得谜底．
解答： 解：∵S={1，2，3，4，5，6}，
其中不含“孤立元”的集合4个元素必须是：
共有{1，2，3，6}，{1，3，4，6}，{1，4，5，6}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个 那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是6个． 故谜底为6．
点评： 本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，我们要根据界说列出满足条件列出所有不含“孤立元”的集合，
及所有三元集的个数，进而求出不含“孤立元”的集合个数．
15．（•四川）非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算： ①G={非负整数}，⊕为整数的加法． ②G={偶数}，⊕为整数的乘法．
③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法． ④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法． ⑤G={虚数}，⊕为单数的乘法．
其中G关于运算⊕为“融洽集”的是 ①③ ．（写出所有“融洽集”的序号）
考点： 集合的含义．
专题： 压轴题；新界说；对应思想．
阐发： 根据题意对给出的集合和运算对两个条件：运算的封闭性和单位量e进行验证，辨别用加法、乘法和平面
向量的线性运算的法例判断，只有都满足时才是G关于运算⊕为“融洽集”．
解答： 解：①G={非负整数}，⊕为整数的加法，满足任意a，b∈G，都有a⊕b∈G，
且令e=0，有a⊕0=0⊕a=a，∴①合适要求；
②G={偶数}，⊕为整数的乘法，若存在a⊕e=a×e=a，则e=1，矛盾，∴②不合适要求；
③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法，两个向量相加结果仍为向量；取
，满足要求，
∴③合适要求；
④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法，两个二次三项式相加获得的可能不是二次三项式， ∴④不合适要求；
⑤G={虚数}，⊕为单数的乘法，两个虚数相乘获得的可能是实数，∴⑤不合适要求， 这样G关于运算⊕为“融洽集”的有①③． 故谜底为：①③．
点评： 本题考查了学生对新界说的理解和运用能力，可结合学过的运算性质进行类比理解，比方：第一条是运算
的封闭性，第二条如加法中的“0”或乘法中的“1”．
欧阳生创编 2021.02.08
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16．（•安徽模拟）给定集合A，若对任意a，b∈A，有a+b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下五个结论：
①集合A={﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合； ②正整数集是闭集合；
③集合A={n|n=3k，k∈Z}是闭集合；
④若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合；
⑤若集合A1，A2为闭集合，且A1⊆R，A2⊆R，则存在c∈R，使得c∉（A1∪A2）．
其中正确的结论的序号是 ②③⑤ ．
考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 计算题．
阐发： 明确闭集合的界说，然后严格依照题目傍边对“闭集合”的界说逐一验证即可． 解答： 解：对①：集合A={﹣4，﹣2，0，2，，4}；例如﹣4+（﹣2）=﹣6∉A，故不是闭集合，故不正确；
对②：任意a，b∈A，有a+b∈A，所以正整数集是闭集合，正确．
对③：由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3 的倍数，故③是闭集合，故正确；
对④：假设A1={n|n=3k，k∈Z}，A2={n|n=5k，k∈Z}，3∈A1，5∈A2，可是，3+5∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，故错．
对⑤：设集合A1={n|n=3k，k∈Z}，A2={n|n=2k，k∈Z}都为闭集合，但5∉（A1∪A2）．故⑤正确． 正确结论的序号是②③⑤． 故谜底为：②③⑤．
点评： 本题考查的是集合知识和新界说的问题．充分体会新界说问题概念简直定性，与集合子集个数、子集构成
的规律．此题综合性强，值得总结和归纳．
17．（•绵阳三模）设集合A⊆R，对任意a、b、c∈A，运算“⊕具有如下性质：
（1）a⊕b∈A； （2）a⊕a=0； （3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c 给出下列命题： ①0∈A
②若1∈A，则（1⊕1）⊕1=0； ③若a∈A，且a⊕0=a，则a=0；
④若a、b、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，则a=c．
其中正确命题的序号是 ①③④ （把你认为正确的命题的序号都填上）．
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考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 压轴题；新界说；综合法．
阐发： 根据界说中所给的规则（1）a⊕b∈A； （2）a⊕a=0； （3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c，对四个命题逐一
进行验证，得出正确命题．
解答： 解：①由（1）a⊕b∈A； （2）a⊕a=0，0∈A，故①正确；
②由（2）a⊕a=0； （3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c知1∈A，则（1⊕1）⊕1=1，故②不正确；
③当a=0时，若a∈A，且a⊕0=a，则a=0显然成立，当a≠0时，若若a∈A，且a⊕0=a，则在（3）中令c=0，发明此时（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c无意义，故a=0，③正确； ④a⊕0=a或得a=0，又a⊕b=c⊕b，故有a=c=0，所以④正确； 综上①③④正确 故谜底为①③④
点评： 本题考查元素与集合关系的判断，正确解答本题，关键是掌握并理解新界说中所给的规则，以及灵活选用
规则判毕命题是否正确．本题比较笼统，应好好总结做题规律．
18．已知集合A={a1，a2，…，an，n∈N*且n＞2}，令TA={x|x=ai+aj}，ai∈A，aj∈A，1≤i≤j≤n，card（TA）暗示集合TA中元素的个数． ①若A={2，4，8，16}，则card（TA）= 10 ；
②若ai+1﹣ai=c（ 1≤i≤n﹣1，c为非零常数），则card（TA）= 2n﹣3 ．
考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 计算题；新界说．
阐发： 对①若A={2，4，8，16}，直接计算出TA={6，10，18，12，20，24}，即可得出谜底；
②若ai+1﹣ai=c（ 1≤i≤n﹣1，c为非零常数），说明数列a1，a2，…，an，构成等差数列，利用特殊化思想，取特殊的等差数列进行计算，结合类比推理可得card（TA）=2n﹣3．
解答： 解：①若A={2，4，8，16}，
则TA={6，10，18，12，20，24，4，8，16，32}， ∴card（TA）=10；
②若ai+1﹣ai=c（ 1≤i≤n﹣1，c为非零常数），说明数列a1，a2，…，an，构成等差数列， 取特殊的等差数列进行计算，
取A={1，2，3，…，n}，则TA={3，4，5，…，2n﹣1}， 由于（2n﹣1）﹣3+1=2n﹣3， ∴TA中共2n﹣3个元素， 利用类比推理可得
若ai+1﹣ai=c（ 1≤i≤n﹣1，c为非零常数），则card（TA）=2n﹣3． 故谜底为：10；2n﹣3．
点评： 本题考查集合与元素的位置关系和数列的综合应用，综合性较强，解题时注意特殊化思想和转化思想的运
用，解题时要认真审题，仔细解答，避免毛病，属基础题．
19．设集合M={1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si={ai，bi}，Sj={aj，bj}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有
中的较小者），则k的最年夜值是 11 ．
考点： 元素与集合关系的判断．
（min{x，y}暗示两个数x，y
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专题： 计算题．
阐发： 含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、
{4，6}只能取一个，由此能求出满足条件的两个元素的集合的个数．
解答： 解：含2个元素的子集有15个，
但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个； {1，3}、{2，6}只能取一个； {2，3}、{4，6}只能取一个，
故满足条件的两个元素的集合有11个． 故谜底为：11．
点评： 本题考查元素与集合的关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答．
20．设集合A=，B=，函数f（x）=
．
若x0∈A，
且f[f（x0）]∈A，则x0的取值规模是
考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 计算题．
阐发： 这是一个分段函数，从x0∈A入手，依次表达出里层的解析式，最后获得1﹣2x0∈A，解不等式获得结果． 解答：
解：x0∈A，即，
所以即即解得：所以
，
，
，即f（x0）∈B，所以f[f（x0）]=2[1﹣f（x0）]=1﹣2x0∈A， ， ，又由．
，，
故谜底为：（，）
点评： 本题考查元素与集合间的关系，考查分段函数，解题的关键是看清自变量的规模，代入适合的代数式．
21．（文）设集合A⊆R，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合A的聚点．则在下列集合中： （1）Z+∪Z﹣（2）R+∪R﹣（3）（4）
以0为聚点的集合有 （2）（4） （写出所有你认为正确结论的序号）．
考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 阅读型；新界说．
阐发： 根据集合聚点的新界说，我们逐一阐发四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的界说，进而获
得谜底．
解答： 解：（1）对某个a＜1，比方a=0.5，此时对任意的x∈Z+∪Z﹣，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不成
能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是Z+∪Z﹣的聚点；
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（2）集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a ∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点； （3）中，集合
中的元素是极限为1的数列，除第一项0之外，其余的都至少比0年夜 ，
∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x， ∴0不是集合（4）集合∴0是集合
的聚点；
中的元素是极限为0的数列，对任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a 的聚点
故谜底为（2）（4）
点评： 本题的考点是函数恒成立问题，主要考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新界说﹣﹣集合的聚
点的含义，是解答本题的关键．
22．用描述法暗示图中的阴影部分（包含鸿沟） {（x,y)|xy＞0,且
．
考点： 集合的暗示法． 专题： 计算题．
阐发： 利用图中的阴影部分的点的坐标满足的条件即为集合的元素的公共属性． 解答： 解：图中的阴影部分的点设为（x，y）则
{x，y）|﹣1≤x≤0，﹣={（x，y）|xy＞0且﹣1故谜底为：{（x，y）|xy＞0，且
点评： 本题考查用集合暗示平面图形，注意代表元素是数对．
或0
，0≤y≤1}
}
}
23．设
{（1，1），（0，1），（0，﹣1）} ．
考点： 集合的暗示法． 专题： 计算题． 阐发：
欲求出A∩B中的元素，只须求解方程组解答：
解：∵求解方程组
的解，
，则A∩B用列举法可暗示为
的解．将方程组的解用列举法写出来即得谜底．
或或
由此可知集合A∩B用列举法可暗示为{（1，1），（0，1），（0，﹣1）}
故谜底为{（1，1），（0，1），（0，﹣1）}
点评： 本题考查集合的暗示法、集合的性质和应用，解题时要注意不重复、不遗漏．
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24．如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，即b∈Q．则下列元素：①③序号）
；④
；②
；
，其中a，
．其中是集合M的元素是 ①③④ ．（填
考点： 元素与集合关系的判断．
专题： 新界说．
阐发： 通过a，b取值直接判断①②，是否正确，通过化简③④，确定a，b的值判断③④是否满足题意． 解答： 解：对①，显然a=0，b=1，满足题意；
对②；显然a=3，b=π，π是无理数，所以②不满足题意；
对③对④
=
=
=3+2
，所以a=3，b=2满足题意；
=4，a=4，b=0，满足题意．
是集合M的元素是①③④． 故谜底为：①③④．
点评： 本题考查元素与集合关系的判断，考查计算能力，逻辑推理能力．
25．用列举法暗示集合：1，4，9} ．
考点： 集合的暗示法． 专题： 计算题． 阐发：
首先根据
集合M
解答：
解：∵m=﹣11时，m=﹣6时，m=﹣3时，m=﹣2时，m=0时，m=1时，m=4时，m=9时，
； =﹣2； =﹣5； =﹣10； =10； =5； =2； =1；
；
= {﹣11，﹣6，﹣3，﹣2，0，
，对m值进行阐发，当为整数时记录m的值，最后综合m的值构成
∴M={﹣11，﹣6，﹣3，﹣2，0，1，4，9}
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故谜底为：{﹣11，﹣6，﹣3，﹣2，0，1，4，9}
点评： 本题考查集合的暗示办法，根据已知题意进行阐发，通过对m值的阐发为解题的关键，属于基础题．
三．解答题（共5小题）
26．（•北京）已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数辨别为m和n．若对任意的a∈A，总有﹣a∉A，则称集合A具有性质P．
（I）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T； （II）对任何具有性质P的集合A，证明：
；
（III）判断m和n的年夜小关系，并证明你的结论．
考点： 元素与集合关系的判断；集合的含义． 专题： 综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．
阐发： （I）利用性质P的界说判断出具有性质P的集合，利用集合S，T的界说写出S，T．
（II）据具有性质P的集合满足a∈A，总有﹣a∉A，获得0∉A获得（ai，ai）∉T；当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）∉T，求出T中的元素个数．
（III）对应S中的元素据S，T的界说获得也是T中的元素，反之对T中的元素也是s中的元素，获得两个集合中的元素相同．
解答： （I）解：集合{0，1，2，3}不具有性质P．
集合{﹣1，2，3}具有性质P，其相应的集合S和T是 S=（﹣1，3），（3，﹣1），T=（2，﹣1），（2，3）．
（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（ai，aj）共有k2个． 因为0∉A，所以（ai，ai）∉T（i=1，2，，k）； 又因为当a∈A时，﹣a∉A时，﹣a∉A， 所以当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）∉T（i，j=1，2，，k）．
从而，集合T中元素的个数最多为即
．
，
（III）解：m=n，证明如下：
（1）对（a，b）∈S，根据界说，
a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而（a+b，b）∈T． 如果（a，b）与（c，d）是S的不合元素， 那么a=c与b=d中至少有一个不成立，
从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立． 故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不合元素．
可见，S中元素的个数未几于T中元素的个数，即m≤n， （2）对（a，b）∈T，根据界说，a∈A，b∈A，
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且a﹣b∈A，从而（a﹣b，b）∈S．
如果（a，b）与（c，d）是T的不合元素， 那么a=c与b=d中至少有一个不成立，
从而a﹣b=c﹣d与b=d中也不至少有一个不成立， 故（a﹣b，b）与（c﹣d，d）也是S的不合元素．
可见，T中元素的个数未几于S中元素的个数，即n≤m， 由（1）（2）可知，m=n．
点评： 本题考查利用题中的新界说解题；新界说题是近几年常考的题型，要重视．
27．对集合A={x|x=m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}，因为16=52﹣32，所以16∈A，研究下列问题：
（1） 1，2，3，4，5，6六个数中，哪些属于A，哪些不属于A，为什么？ （2） 讨论集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素属于A，试给出一个一般的结论，不必证明．
考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 探究型．
阐发： （1）根据集合A的元素的性质证明1，3，4，5∈A，对2和6用反证法进行证明，证明过程注意根据整数
是奇（偶）进行分类说明；
（2）根据集合A的元素的性质，在偶数中找出是集合A的元素和一些不是的A的元素，由这些数的特征进行归纳得出结论．
解答： 解：（1）∵1=12﹣02；3=22﹣12；5=32﹣22；4=22﹣02；
∴1，3，4，5∈A，且2，6∉A；（5分）
设2∈A，得存在m，n∈Z，使2=m2﹣n2成立．（m﹣n）（m+n）=2 当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数 ∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与2不是4倍数矛盾． 当m，n同辨别为奇，偶数时，m﹣n，m+n均为奇数 （m﹣n）（m+n）为奇数，与2是偶数矛盾．∴2∉A同理6∉A（8分） （2）4=22﹣02；8=32﹣12；12=42﹣22；
2，6，10，14，∉A，结论：是4的倍数的数属于A．（12分）
点评： 本题考查了元素与集合的关系，只要根据集合元素满足的性质进行判断，利用归纳推理思想办法进行归纳
出集合元素的性质的结论，考查了阐发和解决问题的能力．
28．已知集合A={x|x=m+n，m，n∈Z}． （1）设x1=
，x2=
，x3=（1﹣3）2，试判断x1，x2，x3
与集合A之间的关系；
（2）任取x1，x2∈A，试判断x1+x2，x1•x2与A之间的关系．
考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 证明题．
阐发： （1）经过分母有理化、开方、平方化简即可判断出x1，x2，x3是否属于集合A．
（2）经过计算可判断出是否属于集合A．
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解答：
解：（1）∵∵∵（2）设
=
=19﹣6=
=
=
．∴x2∈A．
=﹣
﹣
．∴x1∉A．
．∴x3∈A．
，c，d∈Z，
，m，n∈Z，
则x1+x2=（m+c）+（n+d），∵（m+c），（n+d）∈Z，∴（x1+x2）∈Z．
x1x2==mc+2nd+（md+cn），∵（mc+2nd），（md+cn）∈Z，∴x1x2∈Z．
点评： 本题考查了元素与集合之间的关系，正确理解和化简是解决问题的关键．
29．已知集合A的全体元素为实数，且满足若a∈A，则（1）若a=2，求出A中的所有元素；
∈A．
（2）0是否为A中的元素？请再举例一个实数，求出A中的所有元素； （3）根据（1）、（2），你能得出什么结论？
考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 计算题． 阐发：
（1）由已知中若a∈A，则
所有元素；
（2）根据已知中若a∈A，则即可获得结论；
（3）根据已知中若a∈A，则的结论，可得要使
解答：
，﹣，
∈A，结合（1）的结论可得
∈A，﹣∈A，
∈A，而根据（2）
∈A，令0∈A，可得﹣1∈A，根据此时
中分母为0，式子无意义，
∈A，由a=2∈A，可得∈A，再由∈A，可得2∈A，进而获得A中的
三式均有意义，应有a≠0，a≠±1． =∈A…（2分）
解：（1）a=2时，2∈A，则
∈A，则=﹣∈A；﹣∈A，则=﹣3∈A；﹣3∈A，则=2∈A．
∴A中的元素有，﹣3，﹣，2（4分） （2）0不是A中的元素，若0∈A，则
=﹣1∈A，﹣1∈A，则
无意义．（6分）
假设3∈A，则﹣∈A，∈A，﹣2∈A．…（8分）
（3）由（1）、（2）可获得的结论是若实数a∈A（a≠0，a≠±1），则分）
（未标明a≠0与a≠±1或失落一个扣1分；结论中﹣或
失落一个扣1分）
∈A，﹣∈A，
∈A．…（12
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点评：
本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中根据已知中若a∈A，则递推是解答本题的关键，在（3）的解答中易忽略使不克不及获得满分．
，﹣，
∈A，将已知条件代入进行
三式均有意义时，对a的限制，而
30．设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10﹣x∈S．
（1）请你写出合适条件，且辨别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；
（2）是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由；
（3）由（1）、（2）的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论（要求至少写出两个结论）？
考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 综合题．
阐发： （1）根据设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10﹣x∈S．知：元素只有一个
时，即x=10﹣x，即x=5；元素有二个时，即两个正数的和为10；元素有三个时，必有一个元素5，另外两个正数的和为10
（2）6个元素的集合S，元素必须要是1，9；2，8；3，7；4，6；中任意选三对 （3））①s⊆{1，2，3，4，5，6，7，8，9}； ②若5∈s，则s中的元素个数为奇数个， 若5∉s，则s中的元素个数为偶数个； ③合适题意的S共有31个
解答： 解：（1）一个：5
二个：1，9等 三个：1，5，9等 （2）存在．一共有四个
S=1，2，3，7，8，9或S=1，2，4，6，8，9或S=1，3，4，6，7，9或S=2，3，4，6，7，8 （3）①s⊆{1，2，3，4，5，6，7，8，9}； ②若5∈s，则s中的元素个数为奇数个， 若5∉s，则s中的元素个数为偶数个； ③合适题意的S共有31个．等等
点评： 本题考查了元素与集合关系的判断，对知识的总结能力，属于基础题． 时间：2021.02.08 创作人：欧阳生 欧阳生创编 2021.02.08
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