庐山市第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）

A．4 B．5 C．32 D．33

2． 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ） A．4 B．2 C． D．2 3． 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱A1B1中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，若

PBQPBD1，则动点Q的轨迹所在曲线为（ ）

A.直线 B.圆

C.双曲线 D.抛物线

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.

4． 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（ ）

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A．3 B．4 C．5 D．6

5． 学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）

A．20种 B．24种 C．26种 D．30种

6． 极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：ρ=1与曲线C2：ρ=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（ ） A．1

B．

C．

2 D．2

2y27． 过抛物线y2px(p0)焦点F的直线与双曲线x-=1的一条渐近线平行，并交其抛物线于A、 8B两点，若AF>BF，且|AF|3，则抛物线方程为（ ）

A．yx B．y2x C．y4x D．y3x

【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．

8． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A．xR,xx2

2 B．“对任意的xR，x2x10”的否定是“存在x0R，x0x010

22222 C．R，函数f(x)sin(2x)都不是偶函数

D．已知m，n表示两条不同的直线，，表示不同的平面，并且m，n，则“”是 “m//n”的必要不充分条件

【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．

9． 已知是虚数单位，若复数3i(ai)（aR）的实部与虚部相等，则a（ ）

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A．1 B．2 C． D． 10．下列命题中的说法正确的是（ ）

A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1” B．“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”的必要不充分条件

C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0” D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题为真命题

11．如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆 A．

B．

C．

﹣

有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（ ）

D．

+1=0，则角B的度数是（ ）

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A．60° B．120° C．150° D．60°或120°

二、填空题

13．已知正整数m的3次幂有如下分解规律：

131；2335；337911；4313151719；…

3若m(mN)的分解中最小的数为91，则m的值为 . 【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识，问题的给出比较新颖，对逻辑推理及化归能力有较高要求，难度中等.

14．已知一个算法，其流程图如图，则输出结果是 ．

15．设所有方程可以写成（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1（α∈[0，2π]）的直线l组成的集合记为L，则下列说法正确的是 ； ①直线l的倾斜角为α；

②存在定点A，使得对任意l∈L都有点A到直线l的距离为定值； ③存在定圆C，使得对任意l∈L都有直线l与圆C相交；

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④任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2；

⑤任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1⊥l2．

16．如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由 块木块堆成．

17．【南通中学2018届高三10月月考】定义在

对

恒成立，则

上的函数满足，为的导函数，且

的取值范围是__________________.

18．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有 个直角三角形．

三、解答题

19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知tanA=（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若三角形△ABC的面积为

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，c=．

，求角C．

20．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲． 已知函数f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|（a∈R）． （1）若函数f（x）的最小值为3，求a的值；

（2）在（1）的条件下，若直线y＝m与函数y＝f（x）的图象围成一个三角形，求m的范围，并求围成的三角形面积的最大值．

21．已知函数f(x)xaxax1，a0． （1）当a2时，求函数f(x)的单调区间；

（2）若关于的不等式f(x)0在[1,)上有解，求实数的取值范围．

22．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2AD旋转一周所成几何体的表面积．

，AD=2，求四边形ABCD绕

322

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23．设M是焦距为2的椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线．

MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣（1）求椭圆E的方程； （2）已知椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）上点N（x0，y0）处切线方程为

+=1，若P

是直线x=2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C、D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．

24．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．

（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF； （Ⅱ）求证：BD⊥AE．

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庐山市第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】D 【解析】

试题分析：因为根据几何体的三视图可得，几何体为下图AD,AB,AG相互垂直，面AEFG面

ABCDE,BC//AE,ABADAG3,DE1,根据几何体的性质得：AC32,GC32(32)2

2733,GE32425，BG32,AD4,EF10,CE10,所以最长为GC33．

考点：几何体的三视图及几何体的结构特征． 2． 【答案】A

，

【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3）， ∴AB是正方体的体对角线，AB=设正方体的棱长为x， 则故选：A．

，解得x=4．

∴正方体的棱长为4，

【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．

3． 【答案】C.

【解析】易得BP//平面CC1D1D，所有满足PBD1PBX的所有点X在以BP为轴线，以BD1所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q的轨迹为该圆锥面与平面CC1D1D的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q的轨迹是双曲线，故选C. 4． 【答案】B

【解析】解：模拟执行程序框图，可得 s=0，n=0

满足条件n＜i，s=2，n=1 满足条件n＜i，s=5，n=2 满足条件n＜i，s=10，n=3 满足条件n＜i，s=19，n=4

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满足条件n＜i，s=36，n=5

所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为4， 有n=4时，不满足条件n＜i，退出循环，输出s的值为19． 故选：B．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．

5． 【答案】A

【解析】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；

甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案； 甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案； 甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案． 故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案， 故选：A．

【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想．

6． 【答案】A

【解析】解：极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：ρ=1与曲线C2：ρ=2上任意两点， 可知两条曲线是同心圆，如图，|PQ|的最小值为：1． 故选：A．

【点评】本题考查极坐标方程的应用，两点距离的求法，基本知识的考查．

7． 【答案】C

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ìy0=22ïpïx-ï02ïïppï【解析】由已知得双曲线的一条渐近线方程为y=22x，设A(x0,y0)，则x0>，所以íx0+=3，

22ïï2ïy0=2px0ïïïîpp解得p=2或p=4，因为3->，故09． 【答案】A

考

点：复数运算． 10．【答案】D

22

【解析】解：A．命题“若x=1，则x=1”的否命题为“若x≠1，则x≠1”，故A错误，

B．由x2+5x﹣6=0得x=1或x=﹣6，即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件，故B错误， C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≤0﹣5，故C错误，

D．若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，即命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D正确 故选：D．

【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．

11．【答案】D

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【解析】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2）， 联立

2222

，得（2k+1）x+8kx+8k﹣2=0，

∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆

422

∴△=k﹣4（2k+1）（8k﹣2）≥0，

有公共点，

，

]．

整理，得k解得﹣

2

， ．

≤k≤

∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣故选：D．

【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．

12．【答案】A

【解析】解：根据正弦定理有： =代入已知等式得：即

﹣1=

﹣，

+1=0，

，

整理得：2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC， 即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）， 又∵A+B+C=180°， ∴sin（B+C）=sinA， 可得2sinAcosB=sinA， ∵sinA≠0，

∴2cosB=1，即cosB=， 则B=60°． 故选：A．

【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

二、填空题

13．【答案】10

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【解析】m的分解规律恰好为数列1，3，5，7，9，…中若干连续项之和，23为连续两项和，3为接下来三项和，故m的首个数为mm1.

2∵m(mN)的分解中最小的数为91，∴mm191，解得m10.

3333214．【答案】 5 ．

【解析】解：模拟执行程序框图，可得 a=1，a=2

2

不满足条件a＞4a+1，a=3

不满足条件a＞4a+1，a=4

22

不满足条件a＞4a+1，a=5

2

满足条件a＞4a+1，退出循环，输出a的值为5．

故答案为：5．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．

15．【答案】 ②③④

【解析】解：对于①：倾斜角范围与α的范围不一致，故①错误； 对于②：（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1，（α∈[0，2π）），

22

可以认为是圆（x﹣1）+（y﹣2）=1的切线系，故②正确；

对于③：存在定圆C，使得任意l∈L，都有直线l与圆C相交，

22

如圆C：（x﹣1）+（y﹣2）=100，故③正确；

对于④：任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2，作图知④正确； 对于⑤：任意意l1∈L，必存在两条l2∈L，使得l1⊥l2，画图知⑤错误． 故答案为：②③④．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用．

16．【答案】 4

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【解析】解：由三视图可以看出此几何体由两排两列，前排有一个方块，后排左面一列有两个木块右面一列有一个，

故后排有三个，故此几何体共有4个木块组成． 故答案为：4．

17．【答案】

【解析】点

睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。

18．【答案】 4

△PAB是直角三角形，∠ACB=90°【解析】解：由PA⊥平面ABC，则△PAC，又由已知△ABC是直角三角形，所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形， 所以图有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB．

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故答案为：4

【点评】本题考查空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由题意知，tanA=则

=

，

，即有sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，

所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB， 由正弦定理，a=b，则=1；… （Ⅱ）因为三角形△ABC的面积为

2

所以S=absinC=asinC=

，a=b、c=，

，则

=

，① ，② ）=1，sin（C+=

，

）=，

由余弦定理得，由①②得，cosC+又0＜C＜π，则解得C=

…．

sinC=1，则2sin（C+C+

＜

，即C+

【点评】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系、两角和的正弦公式等，注意内角的范围，属于中档题．

20．【答案】

【解析】解：（1）f（x）＝|x＋1|＋2|x－a2|



＝－x＋2a＋1，－1＜x＜a， 3x－2a＋1，x≥a，

2

2

2

2

－3x＋2a2－1，x≤－1，

当x≤－1时，f（x）≥f（－1）＝2a2＋2， －1＜x＜a2，f（a2）＜f（x）＜f（－1）， 即a2＋1＜f（x）＜2a2＋2， 当x≥a2，f（x）≥f（a2）＝a2＋1，

所以当x＝a2时，f（x）min＝a2＋1，由题意得a2＋1＝3，∴a＝±2. 第 14 页，共 18 页

（2）当a＝±2时，由（1）知f（x）＝ －3x＋3，x≤－1，

－x＋5，－1＜x＜2， 3x－3，x≥2，

由y＝f（x）与y＝m的图象知，当它们围成三角形时，m的范围为（3，6]，当m＝6时，围成的三角形面积

1

最大，此时面积为×|3－（－1）|×|6－3|＝6.

2

21．【答案】（１）f(x)的单调递增区间是,2和【解析】

22,，单调递减区间为(2,)；（２）[1,)． 33

试题分析：（１） a2时，利用导数与单调性的关系，对函数求导，并与零作比较可得函数的单调区间；（２） 对函数求导，对参数分类讨论，利用函数的单调性求函数的最小值，使最小值小于或等于零，可得的取值范围．

试题解析：（1）当a2时，f(x)x2x4x1，

32所以f'(x)3x4x4(3x2)(x2)， 由f'(x)0，得x22或x2， 323所以函数f(x)的单调递减区间为(2,)．

（2）要使f(x)0在[1,)上有解，只要f(x)在区间[1,)上的最小值小于等于0． 因为f'(x)3x2axa(3xa)(xa)， 令f'(x)0，得x122a0，x2a0．1 3第 15 页，共 18 页

考点：导数与函数的单调性；分类讨论思想． 22．【答案】

【解析】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的 几何体，如右图：

S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面= πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1=

=

=

23．【答案】

【解析】（1）解：设A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），则

+

=1，

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22即n=b•

，

，即

=﹣

•，

=﹣

，

由k1k2=﹣即有

22222

即为a=2b，又c=a﹣b=1， 22

解得a=2，b=1．

即有椭圆E的方程为+y2=1；

（2）证明：设点P（2，t），切点C（x1，y1），D（x2，y2）， 则两切线方程PC，PD分别为：

+y1y=1，

+y2y=1， +y1y=1，

+y2y=1，

由于P点在切线PC，PD上，故P（2，t）满足得：x1+y1t=1，x2+y2t=1，

故C（x1，y1），D（x2，y2）均满足方程x+ty=1， 即x+ty=1为CD的直线方程． 令y=0，则x=1， 故CD过定点（1，0）．

【点评】本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．

24．【答案】

【解析】

【分析】（Ⅰ）连接FO，则OF为△BDE的中位线，从而DE∥OF，由此能证明DE∥平面ACF． （Ⅱ）推导出BD⊥AC，EC⊥BD，从而BD⊥平面ACE，由此能证明BD⊥AE．

【解答】证明：（Ⅰ）连接FO，∵底面ABCD是正方形，且O为对角线AC和BD交点， ∴O为BD的中点， 又∵F为BE中点，

∴OF为△BDE的中位线，即DE∥OF， 又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF， ∴DE∥平面ACF．

（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC， ∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥BD， ∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AE．

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