二次函数图像和性质

【思维入门】

1．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－m)2＋k的形式，结果为 A．y＝(x＋1)2＋4 C．y＝(x－1)2＋4

B．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋2

( )

2．已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是 ( ) A．b≥－1

B．b≤－1 C．b≥1

D．b≤1

3．如图1－1－1，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 ( )

A．a＞1 C．a＞0

B．－1＜a≤1 D．－1＜a＜2

图1－1－1

4．将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为 ( )

A．y＝－2(x＋1)2－1 B．y＝－2(x＋1)2＋3 C．y＝－2(x－1)2＋1 D．y＝－2(x－1)2＋3

5．已知抛物线y＝x2－k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是____．

6．如图1－1－2，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为____．

图1－1－2

1

【思维拓展】

7．如图1－1－3，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点B(0，－2)，它与反比例函数y＝8

－x的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的解析式为 ( ) A．y＝x2－x－2 B．y＝x2－x＋2 C．y＝x2＋x－2 D．y＝x2＋x＋2

k

8．已知反比例函数y＝x的图象如图1－1－4所示，则二次函数y＝2kx2－4x＋k2的图象大致为 ( )

图1－1－3

图1－1－4

1

9．给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y＝x的图象如图 1－1－5.

1

①如果a＞a＞a2，那么0＜a＜1；

1

②如果a2＞a＞a，那么a＞1；

1

③如果a＞a2＞a，那么－1＜a＜0；

21④如果a＞a＞a时，那么a＜－1，则 ( )

2

图1－1－5

A．正确的命题是①④ B．错误的命题是②③④ C．正确的命题是①② D．错误的命题只有③

12

10．已知当x1＝a，x2＝b，x3＝c时，二次函数y＝2x＋mx对应的函数值分别为y1，y2，y3.若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a11．如图1－1－6，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题： (1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连结BD，求BD的长．

2

4ac－bb

. 注：抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标是－，4a2a

.

12．如图1－1－7，抛物线y＝x2－2x－8交y轴于点A，交x轴正半轴于点B. (1)求直线AB对应的函数关系式；

(2)有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点A，B之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN，PQ.设M点的横坐标为m，且0图1－1－6

图1－1－7

3

13．如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3]． (1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标； (2)探究下列问题：

①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数；

②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?

【思维升华】

14．a，b，c为正整数，则过点M(1，11)的抛物线y＝ax2＋bx＋c的条数是 ( ) A．45 B．44 C．43 D．42

15．定义符号yx表示与自变量x所对应的函数值，例如对于函数y＝x2－2x＋4，当x＝2时，对应的函数值y＝4，则可以写为y2＝4.在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)中，若yt

＋1

＝y－t＋1对任意实数t都成立，那么下列结论错误的是 ( )

B．y－1>y1 C．y4D．y2>y1

A．y0＝y2

16．抛物线y＝ax2与直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是 1

A.4≤a≤1

( )

11

B.2≤a≤2 C.2≤a≤1

1

D.4≤a≤2

4

答案：

第1讲 二次函数的图象和性质

【思维入门】

1．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－m)2＋k的形式，结果为 ( D ) A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x－1)2＋2

2．已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是 ( D ) A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1

3．如图1－1－1，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 ( B )

图1－1－1 A．a＞1 B．－1＜a≤1 C．a＞0 D．－1＜a＜2

4．将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为 ( D ) A．y＝－2(x＋1)2－1 B．y＝－2(x＋1)2＋3 C．y＝－2(x－1)2＋1 D．y＝－2(x－1)2＋3

5．已知抛物线y＝x2－k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是__3__． 【解析】 ∵抛物线y＝x2－k的顶点为P，且与x轴交于两点， ∴P点的坐标为(0，－k)，且k>0，∴PO＝k.

∵抛物线y＝x2－k与x轴交于A，B两点，且△ABP是正三角形， ∴OA＝OB，∠OPB＝30°， ∴OB＝

3k， 3

3k，0，点B在抛物线y＝x2－k上， 3

232

∴将点B的坐标代入y＝x－k，得0＝－k，

3k

k2

整理得－k＝0，

3∴点B的坐标为

图1－1－2

解得k1＝0(不合题意舍去)，k2＝3. 6．如图1－1－2，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，

5

0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为__0__． 【解析】 设抛物线与x轴的另一个交点是Q，

∵抛物线的对称轴过点(1，0)，与x轴的一个交点是P(4，0)， ∴与x轴的另一个交点为Q(－2，0)， 把(－2，0)代入解析式得0＝4a－2b＋c， ∴4a－2b＋c＝0

【思维拓展】

8

7．如图1－1－3，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点B(0，－2)，它与反比例函数y＝－的图象交x于点A(m，4)，则这个二次函数的解析式为 ( A ) A．y＝x2－x－2 B．y＝x2－x＋2 C．y＝x2＋x－2 D．y＝x2＋x＋2

k

8．已知反比例函数y＝的图象如图1－1－4所示，则二次函数y＝2kx2

x－4x＋k2的图象大致为 ( D )

图1－1－3

图1－1－4

1

9．给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y＝的图象如图

x1－1－5.

1

①如果＞a＞a2，那么0＜a＜1；

a1

②如果a2＞a＞，那么a＞1；

a1

③如果＞a2＞a，那么－1＜a＜0；

a

1

④如果a2＞＞a时，那么a＜－1，则 ( A )

a

6

图1－1－5 A．正确的命题是①④ B．错误的命题是②③④ C．正确的命题是①② D．错误的命题只有③

【解析】 三个函数的图象如图1－1－5，易求x＝1时，三个函数的函数值都是1， ∴三个函数的交点坐标为(1，1)．

1

根据对称性，y＝x和y＝在第三象限的交点坐标为(－1，－1)．

x1

①如果＞a＞a2，那么0＜a＜1，故①正确；

a

1

②如果a2＞a＞，那么a＞1或－1＜a＜0，故②错误；

a1

③如果＞a2＞a，那么a的值不存在，故③错误；

a1

④如果a2＞＞a时，那么a＜－1，故④正确．

a综上所述，正确的命题是①④，错误的命题是②③.

1

10．已知当x1＝a，x2＝b，x3＝c时，二次函数y＝x2＋mx对应的函数值分别为y1，y2，y3.若正整数

2a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a－2.5__．

【解析】 ∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b＜c， ∴a的最小值是2，c的最小值是3. m

∵y1＜y2＜y3，∴－＜2.5，

12×

2

解得m＞－2.5.

11．如图1－1－6，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题： (1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连结BD，求BD的长． 注：抛物线

y＝ax2＋bx＋c

b4ac－b2的顶点坐标是－，.

4a2a

解：(1)∵抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，

c＝3，∴ 0＝a－2＋c.a＝－1，解得

c＝3，

∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3.

(2)由(1)知，抛物线的顶点坐标为(1，4)， ∴BD＝BE2＋DE2＝22＋42＝25.

图1－1－6

7

12．如图1－1－7，抛物线y＝x2－2x－8交y轴于点A，交x轴正半轴于点B. (1)求直线AB对应的函数关系式；

(2)有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点A，B之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN，PQ.设M点的横坐标为m，且0图1－1－7

解：(1)由y＝x2－2x－8得x＝0时，y＝－8， ∴点A的坐标为(0，－8)．

令y＝0，则0＝x2－2x－8，解得x1＝－2，x2＝4， ∵点B在x轴的正半轴， ∴点B的坐标为(4，0)．

设直线AB对应的函数表达式为y＝kx＋b，将A(0，－8)，B(4，0)代入，

－8＝b，k＝2，得解得 0＝4k＋b，b＝－8.

∴直线AB对应的函数表达式为y＝2x－8. (2)已知0∵M，N横坐标均为m，直尺宽度为1， ∴P，Q的横坐标均为m＋1.

由题意，得点M的纵坐标为2m－8，点N的纵坐标为m2－2m－8，点P的纵坐标为2(m＋1)－8， 点Q的纵坐标为(m＋1)2－2(m＋1)－8，

∴MN＝(2m－8)－(m2－2m－8)＝－m2＋4m；

PQ＝[2(m＋1)－8]－[(m＋1)2－2(m＋1)－8]＝－m2＋2m＋3， ∴MN－PQ＝2m－3.

∴当2m－3＜0，即0PQ.

13．如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3]．

(1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标； (2)探究下列问题：

①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数；

②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?

解：(1)由题意，得y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，

∴特征数为[－2，1]的函数图象的顶点坐标为(1，0)．

8

(2)①特征数为[4，－1]的函数为y＝x2＋4x－1， 即y＝(x＋2)2－5，

∵函数图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位， ∴y＝(x＋2－1)2－5＋1，即y＝x2＋2x－3， ∴特征数为[2，－3]．

②特征数为[2，3]的函数为y＝x2＋2x＋3， 即y＝(x＋1)2＋2，

特征数为[3，4]的函数为y＝x2＋3x＋4，

327即y＝x＋2＋，

411

∴所求平移为先向左平移个单位，再向下平移个单位．

24

【思维升华】

14．a，b，c为正整数，则过点M(1，11)的抛物线y＝ax2＋bx＋c的条数是 ( A ) A．45 B．44 C．43 D．42

15．定义符号yx表示与自变量x所对应的函数值，例如对于函数y＝x2－2x＋4，当x＝2时，对应的函数值y＝4，则可以写为y2＝4.在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)中，若yt＋1＝y－t＋1对任意实数t都成立，那么下列结论错误的是 ( C ) A．y0＝y2 B．y－1>y1 C．y4y1

16．抛物线y＝ax2与直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是 ( D ) 1

A.≤a≤1 4

1

C.≤a≤1 2

1

B.≤a≤2 21

D.≤a≤2 4

【解析】 由答图可知A(1，2)，B(2，1)， 再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小， 把点A代入y＝ax2，得a＝2， 1

把点B代入y＝ax2，得a＝，

4

1

则a的范围介于这两点之间，故≤a≤2.

4

9