习题集答案

一、单选题

1-5 CBAAA 6-10 BDBAC 11-15 DABAC 16-20 ABDBD 21-25 ABDCA 26-30 CDCCB 31-35 ADCDC 36-40 ABCDD 41-45 AABAB 46-50 BDCCB 51-55 ADCCA 56-60 BBAAC 61-65 ABCDB 66-70 DAADC 71-75 ABBDC 76-80 DBAAB 81-85 DBCAD 86-90 DADAA 91-95 CAAAC 96-100 DDCDD

二、填空题 101. 5t2 102. ysinu,ulnv,v2x 103. [2k,2k] 104. [a,1a] 2t105. 1 106. 4 107. 2 108. 5(t21)2 109. ysinu,ulnv,vx

(t21)2110. 1 111. f(x0) 112. f(x0) 113. 4x2 114. 2x2 115. xy10

2121153116. x 117. 3 118. x6 119. 11axlnaex2 120. secx(2secxtanx)

xx36121. 315 122. 1 123. 增加 124. (,1],[1,) 4125. (,1],[3,)单调增加,[1,3]单调减少

126. 最大值y(4)80 127. 最小值y(1)5 128. 凹凸部’的’界点 129. 10 130. 6 131. cotxC 132. kfxdx 133.

fxdxgxdx

33ln(27x)1xC 137. arctanC 134. tanxxC 135. ln25xC 136. 57aacbx4138. 常数 139. arctanC 140. 1 141. f(x)dxf(x)dx

aca2x3142. 增加 143. f(x)dx f(x)dx

abba144. 曲边梯形各部’面积的代数和等于f()与b-a为邻边的矩形面积 145. p1 146. p1 147. q1 148. q1 149.

 6150. 过点x平等于y轴的直线左边,曲线yf(x)和x轴所围图形的面积

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三、计算题

(1x)]151. 因为：limf(x)lim[x0x0elimex00011x12x1x11x(2’)limex0(1x)xxln[]e1ln(1x)xlimex0x2（4’）

limex0001(x1)22（6’）e12f(0)（8’）

所以在x=0处连续。（10’）

152. 证：设xn2222，因为xnxn1（3’），x122，

n（4’）根据单调有界函数极限存在准则知limxn存在（8’） xn2xn1222，

222limx，所以2x,xn12xn,xnn1lim(2xn),A2A,解得：A=2和A=-1（舍去）1nnnlimxn2.（10’）

x153. 证：设f(x)为区间（-a,a）上任意函数，

f(x)f(x)f(x)f(x)因为：f(x) （6’）

22f(x)f(x)可以证明：为偶函数 （8’）

2f(x)f(x)为奇函数

2从而命题得证。 （10’）

154. 设zn11(n1)2(n2)211n2n21(nn)2 （2’）

则有 zn zn11 （4’） n2n1122(nn)(nn)11 （6’） 2(nn)4n即对任意自然数n，有 而 lim11zn4nn （8’）

11zn00，lim0，由极限存在准则，可知 lim。（10’） nnnn4nx1x1155. limf(x)limx1（4’）

但f(1)1，所以 2第 2 页 共 11 页

()f(18)’） limfx（

x1因此，点x1是函数f(x)的间断点。

156. 虽然在点x0处f(x)有定义，且f(0)0，但是在x0处，有

x0limf(x)lim(x1)1，limf(x)lim(x1)1（5’） x0x0x0即f(x)在x0处左、右极限都存在但不相等，所以f(x)在x0处不连续，为跳跃间断点（第一类），如图所示．（10’）

图

157. 虽然在点x2处f(x)有定义，f(2)4，且在x2处函数的极限存在，即

x24limf(x)limlim(x2)4 （5’） x2x2x2x2但limf(x)f(2)，所以在x2处不连续．但如果我们重新定义在x2处的值为f(2)4，那么

x2在x2处就连续了，这种间断点为可去间断点（第一类），如图所示。（10’）

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158. 因为f(x)2(x)2(x)2x2x偶函数。（10’）

f(x)（5’），所以f(x)2x2x既不是奇函数，也不是

f(x)e(x)e(x)exexexexf(x)（5’）159. 因为f(x)，所以f(x)是奇函数。（10’）

222y1x1160. 由y3x1得到x（5’），然后交换x和y，得y为y3x1的反函数。（10’）

33

161. 设所求曲线方程为yf(x) （2’）

根据题设有y'所以y1 当xe2时y=3 （5’） xdxxlnxC （7’）

代入xe2，y=3解得C=1 （9’） 所以该曲线方程为ylnx1 （10’）

162. 证明：

a2设(x0,y0)为双曲线xya上任意点（3’），而在(x0,y0)点的导数为y2，所以切线方程

x02'02x0ya2为：yy02(xx0)（6’），那么切线与x轴的交点为(20x0,0)，与y轴的交点为

ax0a2(0,y0)（8’） x0所以切线与两坐标构成的三角形的面积为

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222y0x0y01x0a212a2a2a22A(2x0)(y0)(2x0y02a)2a2（10’）

2ax02a2163. 设所求曲线上坐标为（x,y）

那么dydta,dxdtky(hy) （2’） 两式相除得微分方程

dyadxky(hy) y|x00 （4’） ‘离变量积’y(hy)dyakdx

得：hy22y33akxC （6’） 代入初始条件y|x00，得C=0 （8’） 则所求航线曲线为xka(h2132y3y) （10’） 164. 证明：

dydxcosm(arcxsinm1)x2 d2ym2d2xsin(marcsinx)mx

1x2cos(marcsinx)(1x2)1x2 2myxdy1x21x2dx 所以 d2ym2yd2x1x2xdy1x2dx 上式两边同乘以1x20，移项即得

(1x2)d2ydyd2xxdxm2y0 165. y'5(x2)'(2x)'4(sinx)' （3’）

52x2xln24cosx （6’） 10x2xln24cosx （10’）

166. y'(x)'sinxlnxx(sinx)'lnxxsinx(lnx)' （3’）

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3’）

7’）

（10’） （ （ 1 1sinxlnxxcosxlnxxsinx （6’）

x sinxlnxxcosxlnxsinx （10’）

167. y'3cos2(2x23x31)[cos(2x23x31)]' （2’）

3cos2(2x23x31)[sin(2x23x31)](2x23x31)' （4’） 3cos2(2x23x31)[sin(2x23x31)](22x33x2) （7’） 3(4x9x2)cos2(2x23x31)sin(2x23x31) （10’）

168. f(x)2xlnxx （3’）

f(x)2lnx3 （6’）

f(x)2 （9’） xf(2)1 （10’）

169. y'1, （2’） xa y\"()1, （4’） 2(xa)1, （6’）

(xa)311, （8’） 4(xa)(n1)!. （10’）

(xa)n y\"'(1)(2) y(4)(1)(2)(3)归纳的得到 [ln(xa)](n)(1)n1170. y'11cosx(sinx)'(cosx)cotx （10’） sinxsinxsinx171. y'2x540 (5’) x2解得：x=-3 （6’） 而f''(3)21080 （8’） (3)3所心x3时函数有最小值f(-3)=27. （10’）

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(x2y16)2172. 设所求点为（x,y）,那么目标函数为s(x,y)xy（2’）

522而

s2s42x(x2y16)0，2y(x2y16)0 （4’） x5y5816，y （6’） 55816816由于最小值存在，而只有一个驻点(,)，所以在(,)点时到x0,y0及x2y160三直线

5555可解得：x的距离平方之和为最小。 （10’）

00173. limx2lnsinxctgxlim （6’） 2(2x)x4(2x)2limx2001sin2x （8’） 81 （10’）

8174. 因为yearctanx的定义域为(,) （2’）

earctanx而y'

1x2earctanx(1x2)earctanx(2x)2y''1x （4’） 22(1x)另y'0无解，y''0可解得x

x 1

（6’） 21, 2大于0 凹 1 2等于0 拐点 1, 2小于0 凸 y'' y 1111arctan2),在(,]内是凹的,在[,)内是凸的.（10’） 所以拐点为(,e222175. 由罗必达法则

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xlim(etdt)2x20x0edtxt22t2lim2ex2xxe02x2etdt2 （5’）

lim2edt0xe2exx2 （6’）

22xe1lim xxxlimx2 （8’）

=0 （10’）

176. 在yx2过(x0,y0)的切线方程为yy02x0(xx0) （2’）

2y0x0x当y=0时代入切线方程有xx0x00

2x02x02所以M点的坐标为M(x0,0) （4’） 22当x=a时代入切线方程有y2ax0x0

2所以N点的坐标为N(a,2ax0x0) （5’）

3x0x012)2ax0a2x0 （其中 0x0a） 从而三角形MAN的面积为S(x0)(a)(2ax0x0)224（6’）

32x02ax0a20 42a解得：x0 和 x02a（舍去） （8’）

3当S'2a2a4a2) （10’） 所以在x0时三角形MAN面积最大，即(x0,y0)(,339177. 由洛必达法则

1x0limx20122x(1cosx)(1cost)dt2lim （5’） 53x052x2x2001第 8 页 共 11 页

lim001cosx （6’）

x05x2limsinx （8’）

x010x1 （10’） 10178. 因为yx42x31的定义域为(,) （2’）

而y'4x36x2

y''12x(x1) （6’）

解方程y''0可解得x10,x21 （10’） x (,0) 0 + (0，1) - 1 (1,) + y'' yf(x)凹凸性 凹 拐点（0，1） 凸 拐点（1，0） 凹 179. 这是00型的未定式，设yxsinx，两边取对数得

lnylnxsinxsinxlnxlnx （3’） cscxx0 当x0时，上式右端的’子’母都趋于无穷大，所以，可先用罗比塔法则计算limlny。（5’）

1lnxsinxtanxxlimlimlim limlny=x0cscxx0cscxcotxx0 （8’） xx0sinxlimlimtanx0x0xx0又因yelny，所以

limxsinxlimylimelnyex0x0x0x0limlnye01 （10’）

180. f(x)x2lnx2的定义域为,00,. （2’）

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2x1x21 f'(x)2x22x2xxx令f'(x)0,得x11,x21. （4’） 又x0时，f'(x)不存在，f(x)也无定义（6’） 则f(x)在1,0，1,上单调增加；f(x)在（10’） ,1，0,1上单调减少．

tlnxlnxtdlnxdtdlnt181. 原式=（5’）（7’）=（8’）=lnlnt+C（9’）lnlnlnxC

lnxlnlnxtlntlntx f'(x) ,1 1,0 0,1 1, ─ + ─ + f(x)     1x2dx21x277217d(7x2)x2722dxdxln(x7)C 182. 原式=（5’）=（6’）= （7’）=22227x227x2227x（10’）

dxdexxarctaneC （10’） 183. 原式=x（5’）=（8’）=2xx2e(1e)1(e)1xx1d(1xex)dxx184. 因为d(1xe)xdx 所以（4’）

ex(1xex)xe(1xex)x11d(xex)d(1xex)x(x)d(1xe)（6’）（8’）

xe1xexxex1xexln(xex)ln(1xex)C （10’）

sinxcosxsinxdsinx11dsin2xdxarctan(sin185. （5’）（8’）44221sinx21sinx21(sinx)2x)C（10’）

186. 由分部积分法

xf'(x)dxxf(x)f(x)dxC（3’）

由于（6’） 所以：f(x)'所以：xf(x)dxcosxxcosxsinx（8’）

x22sinxC （10’） x187. 设2xt，那么dxtdt（4’）

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所以

t2xtdt1t1d(1t)dxdtdt=（6’）（7’）1t1t（8’）tln(1t)C（9’）12x1t2xln(12x)C（10’）

1x2dx21x255215d(5x2)x2522dxdxln(x5)C 188. 原式=（5’）=（6’）= （7’）=22225x225x2225x（10’）

1dx1de2x2xarctaneC （10’） 189. 原式= （5’）= （8’）=e2x(1e4x)21(e2x)2190. sin3xdx=sin2xsinxdx(1cos2x)d(cosx) =cos2xd(cosx)d(cosx)13cos3xcosxc

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2（6’）

（10’）