数学归纳法在高中数学中的应用

DOI： 10.19392/j .cnki. 1671-7341.201624026

科技风2016年12月下

数学归纳法在高中数学中的应用

张博宇

成都外国语学校四川成都611731

摘要:随着素质教育和新课程改革的深入，对于我们高中生来讲，运用科学的方法培养自己的数学综合素养具有非常重大的意义。本文主要

就数学归纳法在高中数学学习中进行应用问题重点论述。

关键词:数学归纳法；高中数学;应用

数学归纳法作为高中数学中一种非常重要的学习方法，往往被用 来解决自然数变化规律以及数列通项的问题。应用这种学习方法的目 的是培养我们高中生对于出现的数学问题进行猜想、归纳、总结、分析 等方面的能力，全面提高我们数学学习的水平与质量，为将来的学习与 发展打好基础。下面我们就从数学归纳法在高中数学中应用的几个方 面进行重点的研究与论述。

一、 应用数学归纳法解决数学恒等式问题

例题一:证明恒等式〇1+2(12+...+11〇：=112“，其中11属于正整数。对于这道证明的数学题，我们完全可以应用二项展开式的定理和 倒序相加的方式进行问题的解决。同样也可以应用数学归纳法来进行 此项问题的证明。

下面我们就应用数学归纳法来进行分析证明〇 第一，我们首先设定n=w。

第二，进行原有恒等式的替换，C】+2Cw2+...+wC：； ，通过之后的

有关项进行合并，最终我们得出n=w+l时，恒等式C:+2C„2+...+nG；=n2n_1

成立D

第三，因此，n属于正整数时，恒等式C:+2C„2+...+n〇；=n2n-1始终成立。

二、 应用数学归纳法解决数学不等式问题

在高中数学学习中应用数学归纳法对于不等式问题也具有非常好 的解决效果。而高中数学学习中应用数学归纳法的思想是合理放缩、充 分的进行合理性假设。比如:例题二:如果n是大于1的自然数，求证

l/n+l+l/n+2+...l/2n>13/24。对于此问题我们应用数学归纳法进行解题

的流程为：

第一，假设n=2,将2带入不等式l/n+l+l/n+2+...l/2n中最终得出 结果 1/2+1+1/2+2+...1/4=7/12>13/24。

第二，假设n=a，我们将a带入不等式l/n+l+l/n+2+...l/2n中得出

l/a+l+l/a+2+…l/2a，因此当 n=a+l 时，不等式 l/n+l+l/n+2+…l/2n>13/24

始终成立。

第三，我们最终证明出如果n是大于1的自然数，则l/n+l+l/n+2+ …l/2n>13/24始终成立。

三、 应用数学归纳法解决数学整除性问题

例题三:n是非负整数，求证32n+2+26n+1可以被11整除。

我们应用数学归纳法具体的证明流程为：

第一，当n=0时，原有的例题变为32+2=11，11当然可以被11整除。 第二，当n是大于1的正整数时，我们可以假设n=k，k是大于等于 2的正整数，则原有的例题32n+2+26n+1转变为32k+2+26k+1=lla，其中a属于 正整数。通过对于此例题进行变形我们可以得到32k+2=lla-26k+1，最终我

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们得到当n=k+l时，原有的例题变为32(k+1)+2+26(k+1)+1=ll(9a+10 26)，因 此，n=k+l，原有的32n+2+26n+1可以被11整除也整理。

第三，我们得出最终的结论，n是非负整数，32a+2+26n+1可以被11整 除，始终成立9

四、应用数学归纳法解决数学几何问题

在高中数学学习中，几何问题始终是一个重要的问题。而将数学归 纳法在高中几何问题中进行应用主要在三个方面进行体现。

第一，应用数学归纳法进行几何问题的计算。第二，应用数学归纳法进行几何问题的证明。第三，应用数学归纳法进行几何问题的构图。

下面我们主要是举出一个例子，对应用数学归纳法进行几何问题 的证明重点论述。

例题四：在一个几何平面中，有n条直线，任意的两条直线都相

交、而任意的三条直线都不共点，求证:此几何平面中n条直线共有

Pn=l/2(n-l)n 个交点。

我们应用数学归纳法具体的证明过程如下：

首先，我们假设n=2,将2带入Pn=l/2(n-l )n中我们就会得到P2=l， 因此几何平面中n条直线共有Ptt=l/2(n-l)n个交点完全成立。

其次，我们假设n=a，那么原有的Pn=l/2(n-l)n变为Pa=l/2(a-l )a， 而当n=a+l时，就增加了一条直线，我们把其与任意的两条直线都相交、 而任意的三条直线都不共点进行结合性的分析，我们就可以得出结论， 新增加的直线与原有的a条直线各有一个交点，因此，当n=a时就增加 了 a个交点，因此，n=a+l时，几何平面中n条直线共有Pn=l/2(n-l)n个 交点成立。

最后，我们证明出在一个几何平面中，有n条直线，任意的两条直 线都相交、而任意的三条直线都不共点，求证:此几何平面中n条直线 共有Pn=l/2(n-l)n个交点完全成立。

对于数学归纳法在高中数学学习中应用的问题进行研究，有利于 提高高中生数学学习的能力，为将来的学习与发展打好了基础。

参考文献：

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