2021年人教版高一数学必修一第2单元 一元二次函数、方程与不等式(讲解和习题)

人教版高一数学必修一第2单元 一元二次函数、方程与不等式

（讲解和习题）

基础知识讲解

一．不等式定理 【基础知识】

①对任意的a，b，有a＞b①a﹣b＞0；a＝b①a﹣b＝0；a＜b①a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．

①如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．

①如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c． 推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．

①如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc． 二．不等式大小比较 【技巧方法】

不等式大小比较的常用方法

（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法；

（5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法；

（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法． 三．基本不等式 【基础知识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：

2

≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）

或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．

四、基本不等式的应用 【基础知识】 1、求最值

2、利用基本不等式证明不等式 3、基本不等式与恒成立问题 4、均值定理在比较大小中的应用 【技巧方法】 技巧一：凑项

需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值． 技巧二：凑系数

遇到无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值． 技巧三：分离 技巧四：换元

一般，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．

技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错． 技巧七：取平方

两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造条件．

总结我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式． 五．二次函数的性质 【基础知识】

二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0） 【技巧方法】

①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝bb；最值为：f（）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；2a2a①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．

①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝b， ax1•x2＝

c； a①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．

pp），准线方程为y＝，含22

①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c； 六．一元二次不等式 【基础知识】

含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式． 【技巧方法】

（1） 当①＝b2﹣4ac＞0时，

一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2） （2） 当①＝b2﹣4ac＝0时，

一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2． （3） 当①＝b2﹣4ac＜0时．

一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点． 二.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）．

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解． 特例：

①一元一次不等式ax＞b解的讨论；

①一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论． （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，．

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解． （4）指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式

①应用分类讨论思想去绝对值； ①应用数形思想； ①应用化归思想等价转化． 七．一元二次方程根与系数的关系 【基础知识】

一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2＝﹣

bc，x1•x2＝． aa习题演练

一．选择题（共12小题）

1．若a，b，c 是是实数，则下列选项正确的是（ ） A．若ac2bc2，则ab

B．若

ab，则ab ccC．若a2b2，则ab 2．下列不等式中，正确的是 A．若ab,cd，则acbd

D．若ab，则ab

B．若ab，则acbc

C．若ab,cd，则acbd D．若ab,cd，则

ab cd3．如果实数a,b满足：ab0，则下列不等式中不成立的是 （ ）

A．ab0

B．

11 abC．a3b30

D．

11 aba4．下列结论正确的是（ ） A．若ab，则

11 baB．若a2b2，则ab

C．若ab，cd则adbc D．若ab，则ac2bc2

5．函数y2xA．4

6．函数y2xA．4

2x2的最小值是（ ） x2B．6

C．8

D．10

2x2的最小值是（ ） x2B．6

C．8

D．10

7．已知x0，y0，x9y3，则

11的最小值为（ ） xyC．

A．16 B．4

16 3D．

20 38．不等式

x0的解集是（ ） x1B．0,1

C．,01, D．1,

A．,0

9．已知不等式x2ax40的解集为空集，则实数a的取值范围是（） A．[4,4]

B．(4,4)

C．(,4][4,)

D．(,4)(4,)

10．若不等式ax22ax42x24x 对任意实数x 均成立，则实数a的取值范围是（ ） A．2,2 C．2,2

B．,22, D．,2

11．已知集合Mxx3，Nxx3x100，则MN（ ）

2A．Mx3x5

D．xx5

B．Mxx3

C．xx212．已知集合AxZ|x2x30,Bx|x10，则集合A2B（ ）

A．{2,3} B．{1,1} C．{1,2,3} D．

二．填空题（共6小题）

13．不等式3x2x20的解集为____________．

14．已知x0，y0，且

182，则2xy的最小值为_____. xy15．已知2a1,3b2，则ab的取值范围是________．

16．已知正数a，b满足ab2，则3228的最小值为__________． ab17．已知a0，b0，且2abab4，则ab的最小值为______.

18．关于x的不等式x2bxc0的解集是,21,，则bc______． 2三．解析题（共6小题）

19．已知不等式ax25x20的解集是M． （1）若2M，求a的取值范围；

（2）若Mx|1x2，求不等式ax25xa210的解集． 220．已知函数f(x)x2(ab)xa．

∣1x2}，求a,b的值； （1）若关于x的不等式f(x)0的解集为{x（2）当b1时，解关于x的不等式f(x)0．

21．已知关于x的不等式：2kx2kx30

（1）若不等式的解集为,1，求k的值；

32（2）若不等式的解集为R，求k的取值范围． 22．设函数fxaxb2x3a0．

2（1）若不等式fx0的解集为1,3，求a,b的值;

（2）若f12，a0，b0，求

14

的最小值． ab

23．已知fxx3ax3a．

2（1）当a1时，求不等式fx0的解集； （2）解关于x的不等式fx0．

24．已知函数f(x)x(xm)，其中m0．

（1）若m1，求不等式f(x)0的解集； 22的最小值． m（2）求f(2)

人教版高一数学必修一第2单元 一元二次函数、方程与不等式

（讲解和习题）

习题演练

三．选择题（共12小题）

1．若a，b，c 是是实数，则下列选项正确的是（ ） A．若ac2bc2，则ab

B．若

ab，则ab ccC．若a2b2，则ab 【答案】A 【解析】

D．若ab，则ab

对于A，若ac2bc2，则c20，ab，故A正确；

对于B，若

ab，c0，则ab，故B错误； cc对于C，若a1，b0，则满足a2b2，但此时ab，故C错误； 对于D，若a1，b0，则满足ab，但此时ab，故D错误. 故选：A.

2．下列不等式中，正确的是 A．若ab,cd，则acbd

B．若ab，则acbc

C．若ab,cd，则acbd 【答案】A 【解析】

若ab，则acbc,故B错， 设a3,b1,c1,d2,则acbd，

D．若ab,cd，则

ab cdab所以C、D错，故选A cd3．如果实数a,b满足：ab0，则下列不等式中不成立的是 （ ）

A．ab0 【答案】D 【解析】

B．

11 abC．a3b30

D．

11 abaab0，则ab0，abab0，A正确；

由ab0两边同除以ab得

11，B正确； ab

由ab得a3b3，C正确；

ab0，则aab0，

11，D错误． aab故选：D．

4．下列结论正确的是（ ） A．若ab，则

11 baB．若a2b2，则ab

C．若ab，cd则adbc 【答案】C 【解析】

当a1,b2时，满足ab，但

D．若ab，则ac2bc2

11不成立，所以A错； ba当a1,b2时，满足a2b2，但ab不成立，所以B错；

当a1,b2,c0时，满足ab，但ac2bc2不成立，所以D错；

因为cd所以dc，又ab，因此同向不等式相加得adbc，即C对； 故选：C 5．函数y2xA．4 【答案】C 【解析】 因为y2x2x2的最小值是（ ） x2B．6

C．8

D．10

2(x2)， x2

所以y2x2222x2422x148， x2x2x12，即x3， x2取等号时2x2所以ymin8. 故选：C. 6．函数y2xA．4 【答案】C 【解析】 解：因为y2x2x2的最小值是（ ） x2B．6

C．8

D．10

2x2， x2所以y2x2222x2422x248， x2x2x2取等号时2x22，即x3， x2所以ymin8. 故选：C

11y07．已知x0，，x9y3，则的最小值为（ ）

xyA．16 【答案】C 【解析】

B．4

C．

16 3D．

20 3

因为x0，y0，x9y3，

则

1111119yx116x9y10106， xyxy33xy339yx13且x9y3即y，x时取等号． xy44当且仅当

故选：C． 8．不等式

x0的解集是（ ） x1B．0,1

C．,01, D．1,

A．,0 【答案】B 【解析】

解：不等式

x0，即x(x1)0， x1求得0x1，

所以原不等式的解集为0,1

故选：B．

9．已知不等式x2ax40的解集为空集，则实数a的取值范围是（） A．[4,4]

B．(4,4)

C．(,4][4,)

D．(,4)(4,)

【答案】A 【解析】

欲使不等式x2ax40的解集为空集，

即函数yxax4的图像与x轴无交点或只有一个交点，

2则a2160， 解得4a4， 故选A项.

10．若不等式ax22ax42x24x 对任意实数x 均成立，则实数a的取值范围是（ ） A．2,2 C．2,2 【答案】C 【解析】

由题意，不等式ax22ax42x24x，可化为(a2)x2(a2)x40， 当a20，即a2时，不等式恒成立，符合题意；

2B．,22, D．,2

a20 当a20时，要使不等式恒成立，需 ， 24a244(a2)0解得2a2，

综上所述，所以a的取值范围为2,2， 故选：C.



11．已知集合Mxx3，Nxx3x100，则MN（ ）

2A．Mx3x5

【答案】C 【解析】

D．xx5

B．Mxx3

C．xx2集合Mxx3，Nxx3x100xx5x20x2x5

2则MNxx2 故选：C

12．已知集合AxZ|x2x30,Bx|x10，则集合A2B（ ）

A．{2,3} 【答案】A 【解析】

B．{1,1} C．{1,2,3} D．

由x2x3x3x10，解得1x3，所以A1,0,1,2,3.

2Bx|x1.，所以AB{2,3}.

故选：A

四．填空题（共6小题）

13．不等式3x2x20的解集为____________．

【答案】2,1 3

【解析】

由3x2x20得3xx2x13x20，

2所以不等式3x2x20的解集为2,1． 3故答案为：2,1. 314．已知x0，y0，且

182，则2xy的最小值为_____. xy【答案】9 【解析】

1816xy16xy2(2xy)(2xy)2810218，

xyyxyx2xy9，等号成立时x故答案为：9.

3，y6. 215．已知2a1,3b2，则ab的取值范围是________．

【答案】(0,2)

【解析】

因为3b2，则2b3，

又由2a1，根据不等式的基本性质，可得0ab2， 所以ab的取值范围是(0,2).

16．已知正数a，b满足ab2，则3228的最小值为__________． ab【答案】49 【解析】

因为正数a，b满足ab2，

22ba9b4a38493749， 所以ababab当且仅当a64,b时，等号成立． 55故答案为：49

17．已知a0，b0，且2abab4，则ab的最小值为______. 【答案】4 【解析】

， a0，b0，

可得2ab2ab4，当且仅当ab时取等号．

ab1ab20，

ab2或ab1（舍去），

ab4．

故ab的最小值为4. 故答案为：4．

18．关于x的不等式x2bxc0的解集是,21,，则bc______． 2【答案】

7 2【解析】

因为关于x的不等式x2bxc0的解集是,21,， 2所以关于x的方程x2bxc0的解是x2,x1， 212b5b2由根与系数的关系得，解得2，

12cc12所以bc7. 2三．解析题（共6小题）

19．已知不等式ax25x20的解集是M． （1）若2M，求a的取值范围；

1M（2）若x|x2，求不等式ax25xa210的解集．

2【答案】（1）a2；（2）x|3x1． 2【解析】

试题分析：（1）由2是解集中的元素可知其满足不等式，代入可得a的取值范围；（2）结合三个二次关系可得到a值，代入不等式ax25xa210可求解其解集

试题解析：（1）①2M，①a225220，①a2

（2）①Mx|11x2，①,2是方程ax25x20的两个根， 221522a①由韦达定理得{解得a2

1222a①不等式ax25xa210即为：2x25x30

其解集为x|3x1． 220．已知函数f(x)x2(ab)xa．

∣1x2}，求a,b的值； （1）若关于x的不等式f(x)0的解集为{x（2）当b1时，解关于x的不等式f(x)0．

【答案】（1）a2；（2）当a1时，不等式的解集为(,a)(1,)；当a1时，不

b1(a,)．

等式的解集为(,1)【解析】

2（1）由条件知，关于x的方程x(ab)xa0的两个根为1和2，

ab12a2所以，解得．

a12b12（2）当b1时，f(x)x(a1)xa0，即(xa)(x1)0，

当a1时，解得xa或x1；当a1时，解得x1；

当a1时，解得x1或xa．

综上可知，当a1时，不等式的解集为(,a)(1,)；

当a1时，不等式的解集为(,1)(a,)．

21．已知关于x的不等式：2kx2kx30

（1）若不等式的解集为,1，求k的值；

32（2）若不等式的解集为R，求k的取值范围． 【答案】（1）k1；（2）24,0. 【解析】

（1）因为关于x的不等式：2kx2kx30的解集为,1，

32所以3和1是方程2kx2kx30的两个实数根， 2331，得k1． 22k由韦达定理可得:（2）因为关于x的不等式2kx2kx30的解集为R． 当k0时，-3<0恒成立.

2k0,当k0时，由，解得：24k0 2k24k0故k的取值范围为24,0．

22．设函数fxaxb2x3a0．

2

（1）若不等式fx0的解集为1,3，求a,b的值;

（2）若f12，a0，b0，求

14

的最小值． ab

【答案】（1）a1，b4（2）9． 【解析】

（1）因为不等式fx0的解集为1,3， 所以x1和x3是方程fx0的两实根，

从而有f1ab230ab50，即，

f39a3b2303ab10a1解得．

b4（2）由f12，得ab1． 因为a0，b0，

所以

1414b4ab4aab5529， abababab2b4a，即b2a时等号成立． ab3当且仅当

所以

14

的最小值为9． ab

223．已知fxx3ax3a． （1）当a1时，求不等式fx0的解集；

（2）解关于x的不等式fx0． 【答案】（1）1,3；（2）答案见解析. 【解析】

（1）a1时，不等式fx0化为x1x30， 解得1x3，不等式的解集为1,3

（2）关于x的不等式fx0，即xax30； 当a3时，不等式化为x30，解得R；

当a3时，解不等式xax30，得x3或x≥a； 当a3时，解不等式xax30，得xa或x3； 综上所述，当a3时，不等式解集为R； 当a3时，不等式的解集为,3a,； 当a3时，不等式的解集为,a3,．

224．已知函数f(x)x(xm)，其中m0．

（1）若m1，求不等式f(x)0的解集； 22的最小值． m1（2）最小值为8. ；2（2）求f(2)【答案】（1）x|0x【解析】

（1）当m111时， fxx(x)0，解得0x， 2221 2不等式f(x)0的解集为x|0x（2）f2222222m42m422m8 (m0) mmmm当且仅当2m故f2+

2，即m1时取等号. m2的最小值为8. m