王静龙《非参数统计分析》(1-6章)教案

来源：华佗健康网

引言

一般统计分析分为参数分析与非参数分析，参数分析是指，知道总体分布，但其中几个参数的值未知，用统计量来估计参数值，但大部分情况，总体是未知的，这时候就不能用参数分析，如果强行用可能会出现错误的结果。例如：分析下面的供应商的产品是否合格？

合格产品的标准长度为（8.50.1），随即抽取n=100件零件，数据如下：

表1.1

8.503 8.508 8.498 8.347 8.494 8.500 8.498 8.500 8.502 8.501 8.491 8.504 8.502 8.503 8.501 8.505 8.492 8.497 8.150 8.496 8.501 8.489 8.506 8.497 8.505 8.501 8.500 8.499 8.490 8.493 8.501 8.497 8.501 8.498 8.503 8.505 8.510 8.499 8.489 8.496 8.500 8.503 8.497 8.504 8.503 8.506 8.497 8.507 8.346 8.310 8.489 8.499 8.492 8.497 8.506 8.502 8.505 8.489 8.503 8.492 8.501 8.499 8.804 8.505 8.504 8.499 8.506 8.499 8.493 8.494 8.490 8.505 8.511 8.502 8.505 8.503 8.782 8.502 8.509 8.499 8.498 8.493 8.897 8.504 8.493 8.494 7.780 8.509 8.499 8.503 8.494 8.511 8.501 8.497 8.493 8.501 8.495 8.461 8.504 8.691

经计算，平均长度为x8.4958cm，非常接近中心位置8.5cm，样本标准差为sxxii1n2n10.1047cm.一般产品的质量服从正态分布，X~N(,2)。

P(8.4X8.6)(8.6)(8.4)(8.68.495866%

)(8.48.4958)0.10470.1047

这说明产品有接近三分之一不合格，三分之二合格，所以需要更换供应厂商，而用非参数分析却是另外一个结果。以下是100个零件长度的分布表：

长度（cm） ~8.40 8.40~8.46 8.46~8.48 8.48~8.50 8.50~8.52 8.52~8.60 8.60~ 合计

频率（%） 5 0 1 45 45 0 4 100 这说明有90%的零件长度在(8.50.2)cm之间，有9%的零件不合格，所以工厂不需要换供应商。

例2 哪一个企业职工的工资高？表1.3两个企业职工的工资

企业1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 40 60 企业2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 50 显然，企业1职工的工资高，倘若假设企业1与企业2的职工工资分别服从正态分布N(a,2),N(b,2)，则这两个企业职工的工资比较问题就可以转化为一个参数的假设检验问题，原假设为H0:ab，备择假设为H0:ab 则 xy~N(ab,()2) 若H0为真，则

1m1nxyt~t(mn2)t(20)

11Swmn

mn12[(xix)(yiy)2] 其中Smn2i1i12w拒绝域为：{tt0.90(20)}{t1.325} 检测值为：t1.282

故不能拒绝原假设，认为两企业的工资水平无差异。也可以用P值检验

由于P(t(20)1.282)0.1073

故不能拒绝原假设，认为两企业的工资水平无差异。这里我们采用的显著性水平为0.1.

但这个统计结论与实际数据不相符合。主要是因为假设工资服从正态分布，这个假设是错误的，用错误的假设结合参数分析自然得出的结论不可靠。这时候有两种方法处理，一种更换其他分布的假设，二是用非参数数据的方法的分析。非参数统计如同光谱抗生素，应用范围十分广泛。

参数统计与非参数统计针对不同的情况提出的统计方法，它们各有优缺点，互为补充。

第二章描述性统计

§2.1 表格法和图形法

表格法主要有列频数分布表和频率分布表例2.1 某公司测试新灯丝的寿命，列表如下：

107 73 68 97 76 79 94 59 98 57 73 81 54 65 71 80 84 79 98 63 65 66 79 86 68 74 61 82 65 98 63 71 62 116 64 79 78 79 77 86 89 76 74 85 73 80 68 78 89 72 58 92 78 88 77 103 88 63 68 88 81 64 73 75 90 62 89 71 74 70 85 61 65 61 75 62 94 71 85 84 83 63 92 68 81   （1）找到最小值43，最大值116;

（最大值-最小值）组数，分16组，组距为5 （2）将组数分为5~20组，组距

表2.2 灯丝寿命的频率分布表

灯丝寿命（小时） 40--44 45--49 50--54 55--59 60--64 65--69 70--74 75--79 80--84 85--89 90--94 95--99 100--104 105--109 110--114 115--119 总和

个数 1 1 2 8 24 28 30 34 23 22 14 8 3 1 0 1 200 频率（%） 0.5 0.5 1.0 4.0 12.0 14.0 15.0 17.0 11.5 11.0 7.0 4.0 1.5 0.5 0.0 0.5 100

对应的直方图为：

§2.2 表格法和图形法

数值方法主要是用数值来表示数据的中心位置（或者平均大小）和离散程度等。 1 3 5 3 3 1 3 2 3 2 4 4 

列1

平均标准误差中位数众数标准差方差峰度偏度区域最小值最大值求和观测数

2.833333 0.34451

3 3

1.193416 1.424242 -0.20317 -0.00713

4 1 5 34 12

它的平均数，中位数，众数差不多大。但大部分情况不是这样的，例如： §表2.3 某保险公司赔款样本数据频率分布表

赔款数赔款次数 0--400 2 400--800 32 800--1200 24 1200--1600 19 1600--2000 10 2000--2400 6 2400--2800 3 2800--3200 2 3200--3600 1 3600--4000 1 合计 100

平均数，中位数，众数分别为：1224,1000,600，这三者相差较大。左峰的时候：众数中位数平均数，右峰的时候：平均数中位数众数。

平均数容易受到异常值的影响，故不能很好地代表中心位。

例如某地农户收入增长了2.9%，但减收的农户却是60%，为了更好地反映中心位，所以很多情况采用%的切尾平均数。人们熟知的去掉最大值与最小值的平均数也是切尾平均数。

§2.4 经济专业毕业生的月收入数据

毕业生月收入 1 1850 2 1950 3 2050 4 1880 5 1750 6 1700 毕业生月收入 7 1890 8 2130 9 1940 10 2340 11 1920 12 1880 去掉最大值2340，最小值1700,的切尾平均数比总体平均数要小，它为1924，而总体平均数为1940.但中位数都一样，均为1905，中位数表现了稳定性。因此我们不仅用平均数表示中心位置，有时候也用中位数描述数据的中心位置。

另外，众数也能用来描述数据的中心位置，尤其是定性数据的中心位置，例如：

§2.5 有缺陷的小巧克力不合格品问题的频数频率分布表代码 1 2 3 4 5 问题外层不够两个粘在一起被压扁外层太多破裂频数 486 43 295 84 12 频率（%） 52.83 4.67 32.07 9.13 1.30 这种情况下计算平均数和中位数没有多大意义，相反众数为1，众数值得关注。

一般情况，平均数，中位数，众数应该综合考量，这三个数目，使得我们可以从不同角度表达数据的中心位置，给评估对象一个全面的评价，例如：某企业的职工收入的平均数为5700,元，中位数为3000元，众数为2000元，这说明收入2000元的人最多，有一半职工低于3000元，有一半职工高于3000元，平均数5700大于中位数，说明有些员工工资特别高。

平均数与中位数为何可以表示数据的中心位置呢？主要是因为：

(xx)ii1nii1n2amin(xia)i1nin2 （2.1）

xmeminxa （2.2）

ai1这说明用不同的距离标准衡量，平均数与中位数到各点的距离最近。另外平均数的物理意义还有重心的意义，在重心位置，系统可以平衡，在图2.8处，平均数为4，中位数为3，就意味着把树木集中在3这点，所走

的路最短。

* *

* * * * * * * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中位数平均数

§2.2.2 表示离散程度的数值

表示离散程度的数值一般有方差，四分位数，而四分位数又分上四分位数与下四分位数。

为表示数据的离散程度，我们一般用五个数概括，即最小值，下四分位数，中位数，上四分位数，最大值，分别记为Q0,Q1,Q2,Q3,Q4.

例如：将12名经济专业毕业生月收入数据处理结果如下：（用Minitab）数据容量N 平均数Mean 中位数Median 切尾平均数TrMean 标准差StDev 标准误SEMean 最小值Minimum 最大值Maximum 下四分位数Q1 上四分位数Q3

12 1940 1905 1924 170.6 49.3 1700 2340 1857.5 2025

用统计软件Minitab画箱线图（见图2.9）图2.9

四分位数的计算

分位数是将总体的全部数据按大小顺序排列后,处于各等分位置的变量值.如果将全部数据分成相等的两部分,它就是中位数；如果分成四等分,就是四分位数；八等分就是八分位数等.四分位数也称为四分位点,它是将全部数据分成相等的四部分,其中每部分包括25%的数据,处在各分位点的数值就是四分位数.四分位数有三个,第一个四分位数就是通常所说的四分位数,称为下四分位数,第二个四分位数就是中位数,第三个四分位数称为上四分位数,分别用Q1、Q2、Q3表示.四分位数作为分位数的一种形式,在统计中有着十分重要的作用和意义,现就四分位数的计算做一详细阐述. 一、资料未分组四分位数计算第一步：确定四分位数的位置.Qi 所在的位置=i（n+1）/4,其中i=1,2,3.n表示资料项数. 第二步：根据第一步四分位数的位置,计算相应四分位数. 例1：某数学补习小组11人年龄（岁）为：17,19,22,24,25, 28,34,35,36,37,38.则三个四分位数的位置分别为： Q1所在的位置=（11+1）/4=3,Q2所在的位置=2（11+1）/4=6,Q3所在的位置=3（11+1）/4=9.

变量中的第三个、第六个和第九个人的岁数分别为下四分位数、中位数和上四分位数,即： Q1=22（岁）、Q2=28（岁）、Q3=36（岁）我们不难发现,在上例中（n+1）恰好是4的整数倍,但在很多实际工作中不一定都是整数倍.这样四分位数的位置就带有小数,需要进一步研究.带有小数的位置与位置前后标志值有一定的关系：四分位数是与该小数相邻的两个整数位置上的标志值的平均数,权数的大小取决于两个整数位置的远近,距离越近,权数越大,距离越远,权数越小,权数之和应等于1. 例2：设有一组经过排序的数据为12,15,17,19,20,23,25, 28,30,33,34,35,36,37,则三个四分位数的位置分别为： Q1所在的位置=（14+1）/4=3.75,Q2所在的位置=2（14+1）/4=7.5,Q3所在的位置=3（14+1）/4=11.25. 变量中的第3.75项、第7.5项和第11.25项分别为下四分位数、中位数和上四分位数,即： Q1=0.25×第三项+0.75×第四项=0.25×17+0.75×19=18.5； Q2=0.5×第七项+0.5×第八项=0.5×25+0.5×28=26.5； Q3=0.75×第十一项+0.25×第十二项=0.75×34+0.25×35=34.25. 二、资料已整理分组的组距式数列四分位数计算第一步：向上或向下累计次数（因篇幅限制,以下均采取向上累计次数方式计算）；第二步：根据累计次数确定四分位数的位置： Q1的位置 = （∑f+1）/4,Q2的位置 = 2（∑f +1）/4,Q3的位置 = 3（∑f +1）/4 式中：∑f表示资料的总次数；第三步：根据四分位数的位置计算各四分位数（向上累计次数,按照下限公式计算四分位数）： Qi=Li+fi×di 式中：Li——Qi所在组的下限,fi——Qi所在组的次数,di——Qi所在组的组距；Qi-1——Qi所在组以前一组的累积次数,∑f——总次数. 例3：某企业工人日产量的分组资料如下：

根据上述资料确定四分位数步骤如下：（1）向上累计方式获得四分位数位置： Q1的位置=（∑f +1）/4=（164+1）/4=41.25 Q2的位置=2（∑f +1）/4=2（164+1）/4=82.5 Q3的位置=3（∑f +1）/4=3（164+1）/4=123.75 （2）可知Q1,Q2,Q3分别位于向上累计工人数的第三组、第四组和第五组,日产量四分位数具体为： Q1=L1+■×d1=70+■×10=72.49（千克） Q2=L2+■×d2=80+■×10=80.83（千克） Q3=L3+■×d3=90+■×10=90.96（千克） shitouwa4320 2014-10-23

§2.2.3 标准误

假设产生数据的总体的均值为，方差为2。它们的估计分别为样本平均值x，样本方差S2和样本标准差S，由于平均数x的标准差为为Sn，Sn称为标准误。

n，所以它的估计取

xx~N(0,1)~t(n1) 由得nSn在显著性水平0.95的条件下，得置信区间的端点

xt0.975(n1) Sn即得 xSt0.975(n1). nt0.975(11)2.2010

用Mintab计算得到:

Variable N N* Mean SE Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximum

C1 12 0 1940.0 49.3 170.6 1700.0 1857.5 1905.0 2025.0 2340.0

算得到所求置信区间为：

194049.32.209862731940108.5086233

用Excel计算得到：

平均标准误差中位数众数标准差方差峰度偏度区域最小值最大值求和观测数置信度(95.0%)

1940 49.25198

1905 1880 170.6139 29109.09 1.874516 1.102987

640 1700 2340 23280 12 108.4029

所求置信区间为：

194049.251980422.209862731940108.4029328

两款软件计算结果相差不大。 §2.2.4 偏度

偏度（Skewness）反应单峰分布的对诚性，总体偏度用s表示

3X]3 sE[样本偏见度用bs表示，国家标准的计算公式为： bsj3m3m232

其中mji1nxx,inj2,3.

在Excel中的计算公式为：

m3n bs(n1)(n2)S3

一般bs0数据的分布是右偏的，bs0数据的分布是左偏的，bs0 我们倾向于认为总体的分布是对称的。 §2.2.4 峰度

峰度（Kurtosis）反映峰的尖峭程度，总体峰度用k表示，总体的峰度的定义为（国家标准）

4XE[] k4 样本峰度用bk，国家标准的计算公式为

4m4 bkm22

由于正态分布的峰度系数为3，当平分布。

bk3时为尖峰分布，当 bk3 时为扁

第三章符号检验法

符号检验是一种较为简单的非参数检验，中位数检验是符号检验的一个重要应用。

例3.1 某市劳动和社会保障部门的资料说明，1998年高级技师的年收入的中位数为21700元，该市某个行业有一个由50名高级技师组成的样本，数据如下： 23072 24370 20327 24296 22256 19140 25669 22404 26744 26744 23406 20439 24890 24815 24556 18472 24514 22516 25112 23480 26552 24074 18064 22590  原假设与备择假设为：

H0:me21700H1:me2170

#选择统计量 S{xi:xime00,i1,2,,n}，S即为大于中位数me0的

xi的个数，\"#\"表示计数，S也可表示为：

1xime00 Sui,ui

0其他i1n1若H0:me2170为真，则S~b(n,)

2而n50,检测值S32

501计算P值P(X32)i20.0324540.05

i325050即检测值S32落入拒绝域。

故拒绝原假设，接受备择假设H1:me2170

在excel中如何使用BINOMDIST函数返回一元二项式分布的概率值

BINOMDIST函数用于返回一元二项式分布的概率值。

函数语法

语法形式BINOMDIST(number_s,trials,probability_s,cumulative)

number_s:表示实验成功的次救。 trials:表示独立实验的次数。

probability_s:表示一次实验中成功的概率。

cumulative:表示一逻辑值，决定函数的形式，如果cumulative为TRUE,函数BINOMDIST返回积累分布函数，即至多number_s次成功的概率;如果为FALSE，返回概率密度函数，即number_s次成功的概率。

例如，抛硬币正反面的概率是0.5若要计算出抛10次硬币6次是正面的概率。可以使用BINOMDIST函数来实现。

Step01选中C4单元格，在公式编辑栏中输入公式: =BINOMDIST(A2,B2.C2,TRUE)

按Enter键即可计算出积累分布函数，即至多6次成功概率，如图8-73所示。

Step02 选中C5单元格，在公式编辑栏中输入公式: =BINOMDIST(A2,B2.C2.FALSE)

按Enter键即可计算出概率密度函数，即6次成功的概率，如图8-74所示。

§3.2 符号检验在定性数据分析中的应用

有的时候，观察值是一些定性数据，如果定性数据仅取两个值，就可以使用符号检验对它进行统计分析。

例3.2 某项调查询问了2000名年轻人。问题是：你认为我们的生活环境是比过去更好，更差，还是没有变化？有800人觉得”越来越好”，有720人感觉一天不如一天，有400人表示没有变化，还有80人说不知道，根据调查结果，你是否相信，在总体认为我们的生活比过去更好的人，比认为我们的生活比过去差的人多？

解：原假设与备择假设为 1 H0:p21H1:p

2#S{认为生活变好的人数}S选择统计量，也可表示为：

1认为生活变好Su,u ii其他i10n1 则S~b(1520,)

2 由于n很大，所以可以近似认为

其中

S~N(760,380)

np760,npq380

PS8000.020086868

 利用正态分布的计算结果

760799PS800PS7990.022714571

380修正后

760799.5PS8000.021366586

380由于P值较小，所以我们认为我们的生活环境变好了。

§3.3 成对数据的比较问题

由于同一块田的生长环境相同，不同的地生长环境各不相同，所以将这批数据写成成对的形式。

x1nx11x12 x,x,x.

21222n dix1ix2ii,i1,2,n, 12,i1i2i，为品种差，i为随机差。

i关于原点对称的分布。

由于1i和2i都服从关于原点对称的分布，1i2i2i1i（同分布）则

PicP(1i2ic)P(2i1ic)P(1i2ic)P(ic)

所以i关于原点对称。

其它分位点的检验

茆诗松老师教材P414，例7.6.3

以往的资料表明，某种圆钢的90%的产品的硬度不小于103（kg/mm）,为了检验这个结论是否属实，现在随机挑选20根圆钢进行硬度实验，测得其硬度分别是： 142 86 134 119 119 161 98 144 131 158 102 165 154 81 122 117 93 128 137 113 2问这批钢材是否达标？解：原假设与备择假设为：

H0:x0.10103H1:x0.10103

xi103 其他1 ui0选取统计量Snui1i,若原假设成立，则S~b(20,09)

 检测值S15，检验的P值为

20i20i pP(S15)i090.10.0430.05

i015即检测值落入拒绝域，故拒绝原假设，接受备择假设H1:x0.10即产品不达标。

103

例7.6.4 工厂有两个化验室，每天同时从工厂的冷却水中取样，测量水中的含氯量（10）一次，记录如下：

6

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 xi(实验室A) 1.03 1.85 0.74 1.82 1.14 1.65 1.92 1.01 1.12 0.9 1.4 yi(实验室B) 1 1.89 0.9 1.81 1.2 1.7 1.94 1.11 1.23 0.97 1.52 差xi0.03 yi -0.04 -0.16 0.01 -0.06 -0.05 -0.02 -0.1 -0.11 -0.07 -0.12 问两个化验室测定的结果之间有无显著性差异？

解：设A,B实验室的测量误差分别为：,.并设,.的分布函数分别为

F(x),G(x)。

由于 xiii,选取统计量

yiii.

zixiyiii

H1:F(x)G(x).

原假设与备择假设为：

H0:F(x)G(x)若H0为真，则在Z的分布关于原点对称

1zi0ui

0其他选取统计量Sui111i

S即表示z1,z2,,z11中正数的个数。

检验值S2，检验的P值为：

p2min{P(S2),P(S2)}

1111 20.50.06540.05i0i2在显著性水平为0.05，检测值未落入拒绝域，故接受原假设，认为两个化

验室的检测结果之间无显著性差异。

例7.6.5在某保险类中，一次2008年索赔数额的随机抽样为（按照升序排列）： 4632 14760

已知2007年索赔数额的中位数为5063元，问2008年索赔的中位数较上一年是否有所变化？

解：这是一个双侧检验问题：原假设与备择假设为：

4728 15012 5052 18720 5064 21240 5484 22836 6972 52788 7596 67200 9480 H0:x0.550631ui0xi5063其他H1:x0.55063

选取统计量 S显著性水平计算得：

ui1ni

0.05,n15。

k123kk15kkk15kC0.50.50.01760.025C0.50.50.05921515k1141515

C0.50.5k15kk015kk0.01760.025C150.5k0.515k0.0592k0

所以双侧拒绝域为：W{S3或S12}

而检测值S12，落入拒绝域W.

故拒绝原假设，接受备择假设，即可以认为2008年索赔的中位数较上一年有所变化。

方法二：也可采用P值检验

p2P(S12)0.03520.05 检验的P值为：

故检测值落入拒绝域，所以拒绝原假设，接受备择假设，即可以认为2008年索赔的中位数较上一年有所变化。

例7.6.6.1984年一些国家每平方公里可开发的水资源数据如下表所示（万度/年）

国家每平方可开发水资源国家每平方可开发水资源苏联巴西美国加拿大扎伊尔墨西哥瑞典意大利奥地利南斯拉夫挪威 4.9 4.1 7.5 5.4 28.1 4.9 22.3 16.8 58.6 24.8 37.4 印度哥伦比亚日本阿根廷印度尼西亚瑞士罗马利亚西德英国法国西班牙 8.5 26.3 34.9 6.9 7.9 78.0 10.1 8.8 1.7 11.5 13.4 而当年中国的该项指标为20万度/年。请用符号检验方法检验：这22个国家每平方公里可开发的水资源的中位数不高于中国，求检验的P值，并写出结论。解：原假设与备择假设为：

H0:x0.5201xi20ui

0其他选取统计量S显著性水平22H1:x0.520

ui122i,若原假设成立，则S~b(22,0.5)

0.05,n22，查表得：

kk22kC0.50.50.0669, 2222k16kk22kC0.50.50.02620.0522k15右侧拒绝域为:W{S16}

又检测值S8W

或者检测的P值为

pP(S8)0.93310.05

故接受H0，拒绝H1。

即可认为这22个国家可开发的水资源的中位数不高于中国。

例7.6.7.下面是亚洲十个国家1996年的每1000个新生儿中的死亡数（按从小到大的次序排列）

日本以色列韩国斯里兰卡中国叙利亚伊朗印度孟加拉巴基斯坦 4 6 9 15 23 31 36 65 77 88 以M表示1996年1000个新生儿中死亡数的中位数，试检验：

H0:M34H0:M341xi34ui

0其他选取统计量S显著性水平2H1:M34，求检验的P值，并写完出结论。 H1:M34

解：原假设与备择假设为：

ui110i,若原假设成立，则S~b(10,0.5)

0.05,n10，查表得：

3kk10kkk10kC0.50.50.01070.05C0.50.50.0547, 1010k0k0左侧拒绝域为:W{S2}

又检测值S4W

或者检测的P值为

pP(S4)0.37700.05

故接受H0，拒绝H1。

即可认为1996年1000个新生儿中死亡数的中位数不低于34。

例7.6.8.某烟厂称其生产的每支香烟的尼古丁含量在12mg以下，实验室测定的该烟厂的12支香烟的尼古丁含量（单位:mg）分别为: 16.7 17.7 14.1 11.4 13.4 10.5 13.6 11.6 12.0 12.6 11.7 13.7

问是否该厂所说的尼古丁含量比实际要少？求检验的P值，并写出结论。由于对于非正态总体，小样本场合不能用样本均值检验，所以下面采用中位数检验。

解：原假设与备择假设为：

H0:x0.5121xi12ui

0其他H1:x0.512

SuSi,若原假设成立，则~b(12,0.5) 选取统计量

i112显著性水平120.05,n12，查表得：

12k10kk12kkk12kC0.50.50.01930.05C0.50.50.0730, 1212k9右侧拒绝域为:W{S10}

又检测值S8W

pP(S8)0.19380.05 或者检测的P值为

故接受H0，拒绝H1。

即可认为该厂的尼古丁含量比实际含量要少。

第四章符号秩和检验法

§4.1 对称中心为原点的检验问题

设对称中心为，则原假设与备择假设分别为：

H0:0H0:0H0:0nH1:0 H1:0 H1:0

1xi0ui

0其它引入符号检验统计量为：

Sui,i1将x1,x2,xn排序。设量为：WuiRi

i1nxi的秩为Ri,i1,2,,n. 引入符号秩和检验统计

表4.1 10个观察值和它们的符号，绝对值和绝对值的秩

观察值符号绝对值绝对值的秩 -7.6  7.6 9 -5.5  5.5 7 4.3  2.7  -4.8  4.8 6 2.1  -1.2  1.2 1 -6.6  6.6 8 -3.3  3.3 4 -8.5  8.5 10 4.3 5 2.7 3 2.1 2 S3 ,W532

下面讨论符号秩和检验的检验方法，原假设与备择假设为：

H0:0如果H1:0

110，则P(X0)P(X),P(X0)P(X)

22对于任意的正数a，

P(Xa)P(X(a))P(X(a))P(Xa2)P(Xa)

即P(Xa)P(Xa),a0

a a

此时W较大，C为检验的临界值为

cinf{c*:P(Wc*)}.

原假设与备择假设为：

H0:0H1:0

此时P(Xa)P(Xa),a0 此时W较小，d为检验的临界值为

dsup{d*:P(Wd*)}.

原假设与备择假设为：

H0:0H1:0

我们在W较大或者较小的时候拒绝原假设，检验的临界值c，cinf{c*:P(Wc*)2}.

d为

dsup{d*:P(Wd*)}.

§4.2 符号秩和检验统计量W的性质

性质4.1 令Siui，则在总体的分布关于原点0对称时，W与S同分布：

i1n WS

表4.1 10个观察值和它们的符号，绝对值和绝对值的秩

观察值符号绝对值绝对值的秩 d-7.6  7.6 9 -5.5  5.5 7 n4.3  2.7  -4.8  4.8 6 2.1  -1.2  1.2 1 -6.6  6.6 8 -3.3  3.3 4 -8.5  8.5 10 4.3 5 2.7 3 2.1 2 WuiRi53210

i1表4.3 10个观察值和它们的符号，绝对值和绝对值的秩

观察值符号绝对值绝对值的秩 -1.2  1.2 9 2.1  2.7  -3.3  3.3 3 4.3  -4.8  4.8 2 n-5.5  5.5 1 -6.6  6.6 8 -7.6  7.6 4 -8.5  8.5 10 2.1 7 n2.7 5 4.3 6 Siui23510,WuiRi

i1i1这样就初步说明了性质4.1

W的概率分布，在总体X关于原点0分布时，u1,u2,,un相互独立，同分布，

n1且P(ui0)P(ui1),i1,2,,n.所以Siui是离散的分布，它的取值

2i1范围是0,1,2,,n(n1)2,，且

P(Sd)P(iuid)tn(d)2n,d0,1,2,,n(n1)2,（4.1）

i1n其中tn(d)表示从1,2,,n.中取若干个，其和恰好为d的取法数，例如：tn(0)tn(1)tn(2)1。tn(3)tn(4)2，tn(5)3，tn(6)4.

性质4.2 在总体的分布关于原点0对称时，W与S同分布：所以W的分布

nP(Wd)P(uRd)t(d)2,d0,1,2,,n(n1)2,（4.2）  iini1 P(Wd)P(Wn(n1)2d),d1,2,,n(n1)2. 于是 P(Wd)P(Wn(n1)2d),n(4.3)

这说明W的密度是以中心对称的。

性质4.3 在总体的分布关于原点0对称时，W的分布的对称中心为：

例4.1 有12个工人，每个工人用两种生产方式完成一项生产任务，所用时间对比如下表所示：

表4.4 用两种方式完成一项生产任务的完工时间及其差值

n(n1) 4

工人方式1 方式2 1 2 3 4 5 6

xi yi 差值 dixiyi 工人方式1 方式2 7 8 9 10 11 12 xi 16.1 18.5 21.9 24.2 23.4 25.0 yi 差值 dixiyi 20.3 23.5 22.0 19.1 21.0 24.7 18.0 21.7 22.5 17.0 21.2 24.8 2.3 1.8 -0.5 2.1 -0.2 -0.1 17.2 14.9 20.0 21.1 22.7 23.7 -1.1 3.6 1.9 3.1 0.7 1.3 表4.5 差值的符号，绝对值及绝对值的秩

工人差值符号差的绝对值绝对值的秩工人差值符号 1 2 3 4 5 6 2.3 1.8 -0.5 2.1 -0.2 -0.1    2.3 1.8 0.5 2.1 0.2 0.1 10 7 3 9 2 1 7 8 9 10 11 12 -1.1 3.6 1.9 3.1 0.7 1.3  差的绝对值绝对值的秩 1.1 3.6 1.9 3.1 0.7 1.3 5 12 8 11 4 6         符号秩和统计量

W1079128114667

原假设与备择假设为

H0:0H1:0

我们在W较大或者较小的时候拒绝原假设

由于2P(W65)0.05

W67 而检测值

既有 2P(W67)2P(W65)0.05 故检测值落入拒绝域

所以拒绝原假设H0，接受备择假设H1

即认为两种生产方法有差异，方法1不如方法2，方法1需要更多的时间。例：7.6.9 9名学生到英语培训学习，培训前后各进行了一次水平测验，成绩如下：

学生编号i 入学前成绩xi 入学后成绩1 76 81 -5 2 71 85 -14 3 70 70 0 4 57 52 5 5 49 52 -3 6 69 63 6 7 65 83 -18 8 26 33 -7 9 59 62 -3 yi zixiyi

（1）假设测验成绩服从正态分布，问学生的培训效果是否显著？

（2）不假定总体分布，采用符号检验的方法检验学生的培训效果是否显著? （3）采用符号秩和检验方法检验学生的培训效果是否显著,三种检验方法结论是否相同？

解：（1）由于测验成绩符合正态分布，而未知，所以我们采用T检验

原假设与备择假设为： H0:z0

由于z未知，所以我们选取统计量

2H1:z0

TzSzn~t(n1)

n9,t0.95(8)1.8595,

显著性水平0.05,左侧拒绝域为W{t1.8595}. 而检测值TzSz4.33331.6378W n7.93739另一方面也可以用P-值也可判断检测值不在拒绝域。检验的P值 pP{T1.6378}0.070.05. 故检测值T1.6378W.

故接受H0，拒绝H1，即认为培训效果不明显。

（2）原假设与备择假设为： H0:z0.50H1:z0.50

选取符号检验统计量：

Sui,i1n1zi0ui

0其它S~b(n,0.5) 则

这里显著性水平0.05,查表得

n9,

kk9kkk9kC0.50.50.01950.05C0.50.50.0898 99k0k0所以左侧拒绝域为W{S1}

而检测值S2W.

12另一方面也可以用P-值也可判断检测值不在拒绝域。

检验的P值 pP{S2}0.08980.05.

故检测值S2W.

故接受H0，拒绝H1，即认为培训效果不明显。

（3）原假设与备择假设为： H0:0H1:0

n1zi0选取统计量WuiRi,其中ui.

0其他i1这里显著性水平0.05,n9,查表计算得：

满足 P(WC0.05)0.05，右侧临界点为37，由于W密度的对称中心为

n(n1)9(91)n(n1)37378 ，所以左侧临界点为

224左侧拒绝域为W{W8}.

而检测值WuiRi4.5610.5W

i1n故接受H0，拒绝H1，即认为培训效果不明显.

7.6.10 为了比较来做鞋子的两种材料的质量，选取15个男子，每人穿一双新鞋，其中一只是以材料A做后跟，另外一只是以材料B做后跟，其厚度均为10mm,过一个月再测量厚度，数据如下：

序号材料 A 材料 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.6 7.0 8.3 8.2 5.2 9.3 7.9 8.5 7.8 7.5 6.1 8.9 6.1 9.4 9.1 7.4 5.4 8.8 8.0 6.8 9.1 6.3 7.5 7.0 6.5 4.4 7.7 4.2 9.4 9.1 问是否可以认为材料A制成的鞋子比材料B耐穿？

（1）设dixiyi(i1,2,,15)来自正态总体，结论是什么？（2）采用符号秩和检验，结论是什么？

解：（1）由于di符合正态分布，而未知，所以我们采用T检验

原假设与备择假设为： H0:d0H1:d0

2 由于z未知，所以我们选取统计量

TDSdn~t(n1)

n15,t0.95(14)1.7613,

显著性水平0.05,右侧拒绝域为W{t1.7613}. 而检测值TDSd0.55332.0959W n1.022515另一方面也可以用P-值也可判断检测值在拒绝域。检验的P值 pP{T2.0959}0.02740.05. 故检测值T2.0959W.

故拒绝H0，接受H1，即认为材料A制成的鞋后跟比材料B耐穿。

（2）原假设与备择假设为： H0:0H1:0

n1di0选取统计量WuiRi,其中ui.

0其他i1这里显著性水平0.05,n15,查表计算得：

满足 P(WC0.05)0.05，右侧临界点为90。 右侧拒绝域为W{W90}.而检测值

WuiRiR2R4R6R7R8R9R10R11R12R13i1n

123.53.5128.56.58.5141015 93.5W故拒绝H0，接受H1，即认为材料A制成的鞋后跟比材料B耐穿。

7.6.11 某饮料商用两种不同的配方推出两种新的饮料，现在调查10位消费者，他们对两种饮料的评分如下：

品尝者 A饮料 B饮料 1 10 6 2 8 5 3 6 2 4 8 2 5 7 4 6 5 6 7 1 4 8 3 5 9 9 7 10 7 8 问两种饮料评分是否有显著性差异？（1）采用符号检验法作检验; （2）采用符号秩和检验法作检验. 解:(1)解：原假设与备择假设为：

H0:d0.50H1:d0.50

1xiyi0 ui

0其他选取统计量Sui1ni

S即为更喜欢A饮料的人数，若原假设成立，则

S~b(10,0.5)

计算得：

kk10kkk10kC0.50.50.01070.025C0.50.50.05471010k9k81010

kk10kkk10kC0.50.50.01070.025C0.50.50.05471010k0k0W{S1或S9} 所以双侧拒绝域为：

检测值S5，检验的P值为

10i10i p2min{P(S5),P(S5)}2i0.50.51.24600.05

i05即检测值未落入拒绝域，故接受H0，拒绝H1。即认为两种饮料的评分没有显著性差异。（2）原假设与备择假设为： H0:0H1:0

n1xiyi0选取统计量WuiRi,其中ui.

0其他i1这里显著性水平0.05,n10,查表计算得：

满足 P(WC0.025)0.025，右侧临界点为47，则左侧临界点为

n(n1)101147478 22双侧拒绝域为W{W8或W47}.而检测值

WuiRiR1R2R3R4R5i110

8.568.5106 39W故接受H0，拒绝H1，即认为两种饮料的评分没有显著性差异。

7.6.12 测试精神压力和没有精神压力的血压差别，10个志愿者进行了相应的实验，数据如下（单位：毫米汞柱收缩压）：

无精神压力时有精神压力时 107 127 108 119 122 123 119 113 116 118 121 111 114 108 125 132 121 131 116 124 该数据是否表明有精神压力的情况下的血压是否有所增加？解:采用符号秩和检验原假设与备择假设为： H0:0H1:0 其中为dixiyi总体密度函数的对称中心,

n1xiyi0选取统计量WuiRi,其中ui.

0其他i1这里显著性水平0.05,n10,查表计算得：

满足 P(WC0.05)0.05，右侧临界点为45，则左侧临界点为

n(n1)1011454510 22左侧拒绝域为W{W10}.而检测值

WuiRiR44W

i110故拒绝H0，接受H1，即认为有精神压力导致血压增加。

§4.3 符号秩和检验统计量W的渐近正态性（1）期望与方差



在总体X的分布关于原点o对称时，u1,u2,un相互独立，每一个ui的分布

1都是P(ui0)P(ui1),i1,2,n.。而S2 iu，则它的期望与方差分别为：

ii1n1nn(n1)E(S)i 2i141nn(n1)(2n1)D(S)i. 4i124由于W与S有相同的分布，所以

 E(W)2n(n1) 4n(n1)(2n1). D(W)24 (2)渐近正态性

性质4.5 如果总体关于原点对称，则在样本容量n趋于无穷大时，W有渐近正态性：

WE(W)D(W)Wn(n1)4LN(0,1).

n(n1)(2n1)24或者简记为 W~Nn(n1)4,n(n1)(2n1)24.

§4.4 平均秩法

平均秩的基本定义：即对于相同的样本取平均秩。每个元素赋予平均秩为：

(r1)(r2)(r)r(r1)2

平均时的秩和与平方和为

[r(1)2][r(1)2][r(1)2][r(1)2],(4.8)

[r(1)2]2[r(1)2]2[r(1)2]2[r(1)2]2,(4.9) 非平均的时候秩和与平方和为

(r1)(r2)(r)[r(1)2],(4.10)

(r1)2(r2)2(r)2r2r(1)(1)(21)6,(4.11) (4.8)与（4.10）结果一样。由（4.11）减去（4.9）得到

[r(1)2]2(r1)2(r2)2(r)2(3)12,(4.12)

于是由（4.11）与（4.12）得：

na(i)12nn(n1)i12,(4.13) nga2(i)1222n2i1(3jj)j112n(g

n1)(2n1)(3jj)6,(4.14)j112

性质4.6 在总体的分布关于原点o对称，有结秩取平均时，

E(W)n(n1)4,(4.15)

D(W)n(n1)(2n1)g3(jj)24j148,(4.16)

在有结的情况下，如果总体关于原点对称，则在样本容量n趋于无穷大时，有渐近正态性：

W

g3 W~Nn(n1)4,n(n1)(2n1)24(jj)48

j1严格上以上期望与方差是在有结的情况下的计算结果，所以严格书写应该按照以下方式：

 E(W1,2,,g)n(n1),4(4.15)

3g(n(n1)(2n1)jj)D(W1,2,,g),(4.16)

2448j1§4.5 对称中心的检验问题有以下几种情形：原假设与备择假设为 H0:0 H0:0 H0:0

例4.5：通常认为人在放松条件下入睡的时间比紧张状态下的入睡时间要少两分钟，现在有十名男性，他们在放松下与紧张状态下的入睡时间分别为xi与yi，

H1:0 H1:0 H1:0

dixiyi，表4.10显示10个差值8个小与-2，只有2个不小于-2，所以我们

有理由猜测放松状态下比非放松状态下入睡时间要少2分钟，这个猜测是否正确？

表4.10 成年人在放松的条件下和没有放松的条件下入睡所需的时间

研究对象 i 放松条件非放松条件差值差值+2 绝对值秩 xi yi dixiyi cidi2 ci Ri

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 9 12 8 9 7 8 7 11 6 15 12 22 15 10 7 16 10 14 9 10-5 -3 -10 -7 -1 0 -6 -3 -3 -3 -3 -1 -8 -5 1 2 -4 -1 -1 -1 3 1 8 5 1 2 4 1 1 1 7 3 10 9 3 6 8 3 3 3 符号秩和检测值为WuiRi369,i11ci0ui

0其他原假设与备择假设为 H0:2H1:2

左侧拒绝域为W{W10}.而检测值

WuiRi369W

i110故拒绝H0，接受H1，即认为成年男性在放松条件下入睡的时间比紧张状态下入睡时间要少于2分钟。

由于样本容量n足够大的时候，W有渐近正态性，所以也可以用正态分布作检测。

原假设与备择假设为



H0:2H1:2

g3 在H0为真的时，W~Nn(n1)4,n(n1)(2n1)24(jj)48

j1 即W~N27.5,93.75

检测值为：WuiRi369

i110检测p值为P(W9)(9.527.593.75)0.031511

所以在显著性水平为0.05下，检测值落入拒绝域

故拒绝H0，接受H1，即认为成年男性在放松条件下入睡的时间比紧张状态下入睡时间要少于2分钟。

第五章两样本问题

§5.1 Mood中位数检验法

例2 哪一个企业职工的工资高？表1.3两个企业职工的工资

企业1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 40 60 企业2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 50 他们的合样本为

3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18.19,20

30,40,50,60,其中带[]表示企业2的职工的工资，其他的为企业1的工资，合样本的中位数为13.5，将以上数据转化为四表格

表5.1 四格表

企业1 企业2 合计工资<13.5千元工资>13.5千元合计 N113 N218 N111 N129 N222 N211 N112 N210 N113

1111NN1112PN11,12,11,22，这说明 2212N11服从超几何分布

MNMknk,k0,1,2,,r,P(Xk)NnME(X)nN

设总体的X和Y的中位数分别为mex和mey 原假设与备择假设为 H0:mexmeyrmin{M,n}

H1:mexmey

在H0成立的情况下，N11服从超几何分布h(N11,12,11,22) 这是一个单侧检验问题，拒绝域在左边. 检测值为N113，检测P值为

P(N113)P(N111)P(N112)P(N113)1.71050.0009360.0140340.0149870.05

所以检测值N113落入拒绝域，

故拒绝H0，接受H1，即认为企业1的职工比企业2的职工的工资要高。

§5.2 Wilcoxon秩和检验法

设有独立同分布的样本x1,x2,,xN，不妨设总体是连续的随机变量，从而可以以概率为1保证样本单元x1,x2,,xN互不相等，则单个的秩

Ri(i1,2,,N)服从均匀分布：

P(Rir)1,r1,2,,N, N由以上结论，我们可以得出定理5.1 对任意的i1,2,,N,都有

(N1)E(Ri),2 (N21)

D(Ri).12证明：对于任意的i1,2,,N,，都有

1 E(Ri)rP(Rir)Nr12N2N(N1)r, 2r12rr1NN1E(R)rP(Rr) iiNr1(N1)(2N1).

(N1)(2N1)N122D(Ri)E(Ri)(E(Ri))62N21.12

定理5.2 对于任意的1ijN，都有

(N1). Cov(Ri,Rj)12证明：对于任意的1ijN，都有 E(RiRj)r1r2r1r2P(Rir1,Rjr2)2r1r2. r1r2N(N1)2N(N1)N(N1)(2N1)2rrrr1226r1r2rr

N(N1)(3N2)(N1),12r1r2(N1)(3N2). 于是E(RiRj)12r1r2N(N1)所以

Cov(Ri,Rj)E(RiRj)E(Ri)E(Rj)

(N1)(3N2)N1122 (N1).1225.22 Wilcoxon秩和检验的求解过程

例 1.2 将两个企业22名职工合在一起，从小到大排序得到下表：

工资秩工资秩 [3] 1 [4] 2 [5] 3 [6] 4 [7] 5 [8] 6 [9] 7 [10] 11 8 9 12 10 13 11 14 12 15 13 16 14 17 15 18 16 19 17 20 18 [30] 40 19 20 [50] 60 21 22 带[]表示企业2的工资，不带[]表示企业1的工资.

考虑到人数多的检验效果一样，所以一般我们选择人数少的企业的秩和作检验。设公司1与公司2的中位数分别为mex和mey 原假设与备择假设为 H0:mexmeyH1:meymex

选取统计量W2，这里W2代表公司2的员工工资的秩和。 W212345678192166 这是一个单侧检验问题，拒绝域在左边. 查表得：P(W276)0.005 所以检测p值

P(W266)P(W276)0.0050.05

故检测值在拒绝域，所以拒绝原假设H0，接受备择假设H1，即认为企业2的工资比企业1要低.

§5.3 Wilcoxon秩和检验统计量的性质

假设样本x1,x2,,xm和y1,y2,,yn分别来自相互独立的连续随机变量总体

X和Y，不妨设合样本x1,x2,,xm,y1,y2,,yn

各元素互不相同，样本容量为mn，原假设H0:X和Y同分布. 记yj(j1,2,,n)在合样本中的秩为Rj(Rj1,2,,N)。在原假设H0为真

的条件下，(R1,R2,Rn)服从均匀分布：所以

1, P(R1r1,R2r2,Rnrn)N(N1)(Nn1)记Y的样本y1,y2,,yn的秩和为

WyRj

j1n下面讨论Wilcoxon秩和统计量的分布性质

n(n1)n(n1)n(n1)n(n1),1,2,mn 它依次取

2222由于(R1,R2,Rn)服从均匀分布：所以Wy具有以下性质

性质5.1 设原假设H0:X和Y同分布成立，Wy的概率分布和累积概率分别为

tm,n(d)P(Wyd)P(Rid) N i1nn

P(Wyd)P(Rid)i1ntidm,n(i)

Nnn(n1)n(n1)n(n1)n(n1),1,2,mn, d2222 tm,n(d)为从1,2,,mn取n数，其和恰好为d的取法数。

从1,2,,22中任取10个数，其和恰好为d的取法 121055 故

t12,10(55)1

1291156

故t12,10(56)1

128101157 1291257

故t12,10(57)2

1279101158 128101258 1291358 故t12,10(58)3

12689101159 12679101259 12678111259 12678101359 1267891459 故t12,10(59)5 （2）对称性

假设从1,2,,N中取出n个数a1,a2,,an，其和为d，则剩下的数，其和为

n(N1)d，故和为d的取法数与和为n(N1)d的取法数一样多。

从而 P(Wyd)P(Wyn(N1)d) P(Wyd)P(Wyn(N1)d)

n(n1)n(n1)n(n1)d,1,mn.

222n(N1)故Wy概率密度的对称轴为.

2从而有

n(N1)n(N1)d)P(Wyd) P(Wy22n(N1)n(N1)d)P(Wyd) P(Wy22

nmd0,1,2,.

2n(N1)性质5.2 在原假设H0为真的条件下，Wy概率密度的对称轴为.

2由定理5.1和5.2知

N1n(N1) E(Wy)E(Ri)nE(Ri)n 22i1nD(Wy)D(Ri)D(Ri)2i1i1nn1ijnCov(R,R)ijnD(Ri)n(n1)Cov(R1,R2)

N21(N1)nn(n1)1212n(N1)(Nn)nm(N1).1212

由于在原假设H0为真的条件下，当n,m时，Wy有渐进正态性.

由以上分析，有以下结论.

性质5.4 在原假设H0为真的条件下，当n,m时，有 WyE(Wy))2D(WWyn(N1y)mn(N1)2~N(0,1)

§5.2.4 Wilcoxon秩和检验的备择假设原假设与备择假设为

H10:X和Y同分布H1:P(XY)2

H:X和Y同分布H101:P(XY)2

HY同分布HY)10:X和1:P(X2

H1 在1:P(XY)2成立的条件下，Wy的值较小.

)1 在H1:P(XY2成立的条件下，Wy的值较大.

Y)1 在H1:P(X2成立的条件下，Wy的值可能较小也可能较大.

§5.2.5 Wilcoxon秩和检验的平均秩法对于任意的记分函数，我们有

定理5.6 设有独立的随机变量x1,x2,,xN，xi的得分定义为a(Ri)，则对于任意的1ijN，都有 E(a(Ri))a

2 D(a(R1N i))N(a(i)a)

i1

Cov(a(Ri),a(aj))

证明：

1(a(i)a) N(N1)i1N2Cov(a(Ri),a(Rj))E(a(Ri)a(Rj))E(a(Ri))E(a(Rj)) 1a(i)a(j)aN(N1)ijN22

N2aaaaijiiiji1i1 又

(Na)a2i1N2i

故

Cov(a(Ri),a(Rj))E(a(Ri)a(Rj))E(a(Ri))E(a(Rj))

N2112(1)aa(i)N1N(N1)i1



1(a(i)a)N(N1)i1N2定理5.7 设样本x1,x2,,xm和y1,y2,,yn分别来自相互独立的连续型随机变

量总体X和Y.令Nmn，记yj(j1,2,,n)在合样本中的秩为

Rj(Rj1,2,,N)设有计分函数a(r)(r1,2,,N)，则在X和Y同分布时，有

E(na(R))na

ii1N2nnm(a(i)a)  D(a(Ri))N(N1)i1i1利用D(

a(R))D(a(R))n(n1)Cov(a(R),a(R))证明。

ii12i1i1nnD(a(Ri))D(a(Ri))n(n1)Cov(a(R1),a(R2))i1i1nnnNNn(n1)22(a(i)a)(a(i)a)N(N1) i1i1NnmN2(a(i)a)Ni1针对有结的情况下，在a(Ri)Ri下，由（4.13）（4.14）

1NN1 aa(i)

Ni12(a(i)a)ai1i1N2N2(i)Na2

N(N1)(2N1)6j1g(3jj)12N1N2

23N(N1)(N1)g(jj).1212j1 于是 E(a(Ri))aN1 （5.4） 2

1D(a(Ri))N

2(a(i)a)i12gNN11212Nj1 （5.5） (3jj)N12Cov(a(Ri),a(Rj))(a(i)a)N(N1)i1

3N1g(jj)12j112N(N1) （5.6）

在有结的情况下，wilcoxon秩和检验统计量Wy的期望与方差分别为由以上结论，有 Wya(R)

ii1n E(Wy)nanN1n(N1) 22Nnm2D(Wy)(a(i)a)N(N1)i1

g nm(N1)nm3(jj)1212N(N1)j1 Wy~N(E(Wy),D(Wy))

例5.2.5 为了比较两种型号的汽车每加仑汽油的行驶里程，合样本中的秩见表

如下：

第一种型号汽油汽车行驶里程（英里）秩序第二种型号汽油汽车行驶里程（英里）秩序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

20.6 19.9 18.6 18.9 18.8 20.2 21.0 20.5 19.8 19.8 19.2 20.5 21 16 8 11 9.5 18 22 19.5 14.5 14.5 12 19.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21.3 17.6 17.4 18.5 19.7 21.1 17.3 18.8 17.8 16.9 18.0 20.1 24 4 3 7 13 23 2 9.5 5 1 6 17 解;原假设与备择假设为

H0:X和Y同分布12i1H1:P(XY)

212ii1 选取统计量W1

a(R)R

i1则 W1~N(E(W1),D(W1))N(150,299.61)

检测值W1R185.5

ii112这是一个双侧检验问题，拒绝域在两侧检测P值

2P(W1185.5)0.040.05

故检测值落入拒绝域，所以拒绝原假设H0，接受备择假设H1，

即对于每加仑汽油汽车行驶的里程数不相同，而且认为对于每加仑汽油，第一种汽油行驶的里程数大。

§5.2.5 Wilcoxon秩和处理位置参数差的检验问题原假设与备择假设为

H0:aH0:aH0:aH1:a H1:a H1:a

原假设与备择假设为

H0:mexmeyH0:mexmeyH0:mexmeyH1:mexmey H1:mexmey H1:mexmey

以上检测均可用Wilcoxon秩和处理.

注明：课本74-77的Mann-Whitney U统计量检验法与Wilcoxon 检验法类似，因为两种检测统计量只相差一个常数，故检测模式类似，这里就不做详细介绍.

§5.4 两样本尺度参数的秩检验法

设X和Y的分布函数分别为F(x)和G(y)，则G(y)F(yb),成立的充分必要条件

证明：充分性证明.由bXY知，对于任意的y都有 G(y)P(Yy)P(bXy)P(Xyb)F(yb)

必要性的证明.若对任意y都有G(y)F(yb)，则由于bX的分布函数

dP(bXx)P(Xxb)F(xb)G(x)P(Yx)

所以bXY. 当b1时

G(x) F(x)

dcP(Yc)P(bXc)P(X)P(Xc),c0

bcP(Yc)P(bXc)P(X)P(Xc),c0

即P(Yc)P(Xc),c0

P(Yc)P(Xc),c0即P(Yc)P(Xc),c0

由以上式子知：Y在左右两边的尾部概率比X要大.

即样本y1,y2,,yn倾向于排两边，样本x1,x2,,xm倾向于排中间。类似的当0b1时，

c P(Yc)P(bXc)P(X)P(Xc),c0

bc P(Yc)P(bXc)P(X)P(Xc),c0

b既有

P(Yc)P(Xc),c0 P(Yc)P(Xc),c0

由以上式子知：Y在左右两边的尾部概率比X要小.

即样本y1,y2,,yn倾向于排中间，样本x1,x2,,xm倾向于排两边。 §5.4.2 尺度参数检验问题（1）Mood检验

N1,r1,2,3,,N 取计分函数a(r)为单谷函数，a(r)r2 （2）Ansari-Bradley检验

2N1N1r,r1,2,3,,N 取计分函数a(r)为单峰函数，a(r)22r1,2,k,ra(r) 即在N2k时， N1rrk1,k2,,N;r1,2,k1,ra(r) 即在N2k1时， N1rrk2,k3,,N;

例如

N8时

r a(r)

1 1 2 2 3 3 4 4 5 4 6 3 7 2 8 1 N9

1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 4 7 3 8 2 9 1 a(r) 1 记Ara(Ri)

i1n（3）siegel-Turkey检验

取a(r)为单谷函数，被减序列为

0 ，3, 4 7,8 11,12 10,9 6.5， 2,1

例如

N9

r 1 2 6 3 5 4 2 5 1 6 3 7 4 8 7 9 8 a(r) 9 ni1记Sya(Ri) (4) Klotz检验

取a(r)为单谷函数 a(r)(rN1),r1,2,,N.

12

记 Kya(Ri)

i1n 表5.14 尺度参数检验问题的解

原假设H0 被择假设H1 何种情况拒绝原假设 X和Y同分布 b1 My比较大，Ay比较小 Sy比较大，My比较大 b1 My比较小，Ay比较大 Sy比较小，My比较小 b1 My比较大或比较小，Ay比较大或比较小 Sy比较大或比较小，My比较大或比较小

尺度检验的引例：

尺度检验.ppt

第六章多样本问题

§6.1 Kruskal-Waillis 检验

例6.1 某公司的管理人员来自三所大学，年度评分如下： A大学 84 72 75 95 72 90 75

B大学 75 65 80 55 95 69 C大学 58 78 80 62 65 72 42 表6.3 各组秩的均值的计算

A大学 B大学 C大学

17 9 12 19.5 9 18 12 R196.5 12 5.5 15.5 2 19.5 7 3 14 15.5 4 5.5 9 1 R352 R261.5 R210.25 R113.79

R37.43 设Xi的分布函数F(xi) 原假设与备择假设分别为

H0:12k,总的秩的均值为 R组间平方和为

H1:1,2,,k不全相等

96.561.55210.5

SSBni(RiR)i1n27(13.7910.5)26(10.2510.5)27(7.4310.5)2142.118

引入统计量

1212SSB142.1184.06 HN(N1)2021由于(n1,n2,n3)(7,6,7)在Kruskal-Waillis检验临界值表中查不到，考虑到当

22H~(k1)(2)，所以用2检验 n足够大的时候，

2检验P值为P((2)4.06)0.1313360.05

P值很大，故检测值在正常的大概率区间，所以接受原假设，即认为三所大学人员的管理水平无显著性差异。

§6.1.2 Kruskal-Wallis检验设样本各不相同。原假设与备择假设分别为

H0:12k,总均值为总偏差为

H1:1,2,,k不全相等，我们用ANOVA方法处理

SST(RijR)R2i1j1i1j1knikni2ijNR22

N(N21)N12222123NN122

组间平方和SSB与组内平方和SSW分别为 SSBni(RiR)ni(Ri2i1i12kkN12) （6.1） 2SSW(RijRi)2

i1j1kni由于

N(N21)SSWSSTSSBSSB

12所以只需计算组间差SSB 。选取统计量

H1212N1SSBn(R)iiN(N1)N(N1)i12kRi2N(N1)212[]N(N1)i1ni4k2 （6.2）

k12R2iN(N1)n3(N1),i1,2,k.i1i

§6.1.3 Kruskal-wallis 检验统计量的渐进分布由5.3知

E(Rni(N1)i)2与D(Rni(Nni)(N1)i)12 于是E(Ri)(N1)(Nni)(2与D(Ri)N1)12n i即E(RiN1(Nni)(N12)2D(Ri))12n i所以

kE(SSB)nN12iE(Rii122)kn(Nni)(N1)N1k

ii112n(Nni)i12i1 N(N1)(k1)12.E(H)12N(N1)E(SSB)12N(N1)(k1)N(N1)12k1.

当min{nni1,n2,,nk},且Ni(0,1).时 Kruskal-Waillis统计量H渐进服从2(k1)。即

HL2(k1)

6.3）（

§6.1.4 有相等观察值时Kruskal-wallis检验统计量的修正

ni(N1)2g ni(Nni)(N1)3D(Ri)ni(Nni)(ii)/(12N(N1))12i1E(Ri)(N1)E(Ri)

2g(Nni)(N1)D(Ri)(Nni)(i3i)/(12niN(N1))

12nii1D(Ri)E(RiN12)2g (Nni)(N1)3(Nni)(tt)/(12niN(N1))12nit1由6.2式

k1212N1E(H)E(SSB)niE(Ri)N(N1)N(N1)i12g(i3i)(k1)1i13NN2

所以H的修正H为：

H1H(t1g3tt)

N3NL2H(k1). 在例6.1中n17,n26,n37,Nn1n2n320.

H4.06由于长度为2的结有3个，长度为3的结有2个。所以H的修正为

H1H(t1g3tt)=4.09

N3N检验P值为2P(2(2)4.09)0.129380.05

故不能拒绝原假设，所以认为三所大学的管理人员的水平无显著性差异。

§6.2 趋势的秩检验法原假设与备择假设为

H0:12kH0:12k单调升的理想状态是

H1:12k. H1:12k.

x11x12x1n1x21x22x2n2xk1xk2xknk.

在理想的状态下Rijri，其中

rintt1i1ni1,i1,2,,k,j1,2,,ni. 2若正相关，则数据有上升的趋势。若负相关，则数据有下降的趋势。为此计算下列数据对

Rk1RknkR11R1n1r,,r,,r,,r. 11kk