三角形中线与角平分线应用专题(一)

例1：如图1，长方形ABCD的长为a，宽为b，E、F分别是BC和CD的中点，DE、BF交于点G，求四边形ABGD的面积.

图一 图二 图三

例2：如图2，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且SABC=16，则SDEF为.

变式：如图3，SABC=6，若SBDE=SDEC=SACE，则SADE=______．

例3：在如图3至图5中，△ABC的面积为a

（1）如图3, 延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1， 则S1=________（用含a的代数式表示）；

（2）如图4，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结 DE．若△DEC的面积为S2，则S2=__________（用含a的代数式表示），并写出理由； （3）在图4的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图6）．若 阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示）．

发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图6），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_______倍．

2、倍长中线原则的应用：

例1：(2012·通化)在△ABC中，AB5，AC9，则BC边上的中线AD的 长的取值范围是什么？

练习：如图1，在ABC中，点D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，求证：BDE≌CDF．

图一 图二 图三

例2：如图2，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC 于F，AF=EF，求证：AC=BE．

变式：如图3，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长 线于点F，交EF于点G，若BG=CF，求证：AD为ABC的角平分线.

例3：如图4，已知AD为ABC的中线，ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F，求证：BE+CF>EF．

图四 图五

变式1：如图5，在RtABC中，A=90，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，

且EDFD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

变式2：如图5，在ABC中，D是BC的中点，DEDF，如果BECFDEDF，求证AD

终极变式：(2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在RtABC中，F是斜边AB的中点， D、E分别在边CA、CB上，满足DFE=90．若AD=3，BE=4，则线段DE的长度为_________．

222221(AB2AC2) 4