杭州市2015年中考数学试题含答案解析(word版)

2015年杭州市各类高中招生文化考试

数学——解析版

一、仔细选一选（本题有10小题，每小题3分，共30分）

下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。注意可以用多种不同的方法来选取正确答案。 1.统计显示，2013年底杭州各类高中在校学生人数是11.4万人，将11.4万人用科学记数法表示应为（ ） A.11.4104 B.1.14104 C.1.14105 D.0.114106 【答案】C.

【考点】科学记数法.

【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1. 当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）. 因此，

∵=114 000一共6位，∴=114 000=1.14×105. 故选C.

2. 下列计算正确的是( ) A. 23+24=27 【答案】C.

【考点】有理数的计算.

【分析】根据有理数的运算法则逐一计算作出判断：

A. 23248162427，选项错误； B. 23241624821，选项错误； C. 232423427，选项正确； D. 23242342121，选项错误. 故选C.

3. 下列图形是中心对称图形的是( )

B. 23−24=2 C. 23×24=27 D. 23÷24=21

1来源学#科#网Z#X#X#K]

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【答案】A．

【考点】中心对称图形．

A. B. C. D.

【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.因此，

A、∵该图形旋转180°后能与原图形重合，∴该图形是中心对称图形； B、∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形； C、∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形； D、∵该图形旋转180°后不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形． 故选A．

4. 下列各式的变形中，正确的是( )

A. (−x−y)(−x+y)=x2−y2 C. x2−4x+3=(x−2)2+1 B. 11x xxx D. x÷(x2+x)=+1 【答案】A．

【考点】代数式的变形.

【分析】根据代数式的运算法则逐一计算作出判断：

A. (xy)(xy)(xy)(xy)x2y2，选项正确；

11x21xB. x，选项错误； xxxC. x24x3x24x41(x2)21(x2)21，选项错误； D. xx2x故选A．

5. 圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=( )

A. 20°

B. 30°

C. 70°

D. 110°

x111，选项错误. 2xxx1x【答案】D．

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【考点】圆内接四边形的性质.

【分析】∵圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，

∴根据圆内接四边形互补的性质，得∠C=110°. 故选D．

6. 若kA. 6 【答案】D．

【考点】估计无理数的大小.

【分析】∵81<90<10081<90<1009<90<10，

∴k=9. 故选D．

7. 某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林地面积的20%，设把x公顷旱地改为林地，则可列方程( )

A. 54−x=20%×108 C. 54+x=20%×162 【答案】B.

【考点】由实际问题列方程.

【分析】根据题意，旱地改为林地后，旱地面积为54x公顷，林地面积为108x公顷，等量关系为“旱地占林地面积的20%”，即54x20%108x. 故选B.

8. 如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI的统计图(当AQI不大于100时称空气质量为“优良”)，由图可得下列说法：①18日的PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度的中位数是112µg/cm2；③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，其中正确的说法是( )

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B. 54−x=20%×(108+x) D. 108−x=20%(54+x)

90k1k<B. 7

C. 8

D. 9

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A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

【答案】C.

【考点】折线统计图；中位数.

【分析】根据两个折线统计图给出的图形对各说法作出判断：

①18日的PM，原说法正确；

②这六天中PM按从小到大排列为：25，66，67，92，144，158，中位数是第3，4个数的平

均数，为

679279.5µg/cm2，原说法错误； 2③这六天中有4天空气质量为“优良”，原说法正确； ④空气质量指数AQI与PM，原说法正确. ∴正确的说法是①③④. 故选C.

9. 如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为( )

A.

ABCFED1 4B.

2 5C.

2 3D.

5 9【答案】B.

【考点】概率；正六边形的性质.

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，

如答图，∵正六边形的顶点，连接任意两点可得15条线段，其中6条的连长

度为3：AC、AE、BD、BF、CE、DF，∴所求概率为

故选B.

第9题62. 15510. 设二次函数y1=a(x−x1)(x−x2)(a≠0，x1≠x2)的图象与一次函数y2=dx+e(d≠0)的图象交于点(x1，0)，若函数y=y2+y1的图象与x轴仅有一个交点，则( )

A. a(x1−x2)=d 【答案】B.

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B. a(x2−x1)=d C. a(x1−x2)2=d

D. a(x1+x2)2=d

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【考点】一次函数与二次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系. 【分析】∵一次函数y2dxed0的图象经过点(x1， 0)，

∴0dx1eedx1.∴y2dxdx1dxx1.

∴yy2y1a(xx1)(xx2)dxx1xx1a(xx2)d.

又∵二次函数y1a(xx1)(xx2)(a0，x1x2)的图象与一次函数y2dxed0的图象

交于点(x1， 0)，函数yy2y1的图象与x轴仅有一个交点，

∴函数yy2y1是二次函数，且它的顶点在x轴上，即yy2y1axx1. ∴xx1a(xx2)daxx1a(xx2)daxx1..

令xx1，得a(x1x2)dax1x1，即a(x1x2)d0a(x2x1)d0. 故选B.

二．认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）

要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案。

11. 数据1，2，3，5，5的众数是___________，平均数是_______________ 【答案】5；3.2. 【考点】众数；平均数

【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中5出现三次，出现的次数最多，故这组数据的众数为5.

平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，故这组数据的平均数是

221+2+3+5+516. 55

12. 分解因式：m3n−4mn=____________________________ 【答案】mnm2m2.

【考点】提公因式法和应用公式法因式分解.

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出

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来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，先提取公因式mn后继续应用平方差公式分解即可：m3n4mnmnm24mnm2m2.

y=x2+2x+1，当y=0时，x=_______________；当1【分析】函数yx22x1，当y=0时，即x22x10，解得x1.

∵yx22x1x1，

∴二次函数开口上，对称轴是x1，在对称轴右侧y随x的增大而增大. ∴当1x2时，y随x的增大而增大.

14.如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA为α度，则∠GFB为_________________________度(用关于α的代数式表示) 【答案】90EDGCB22.

ACF第14题BA第【考点】平角定义；平行的性质.

【分析】∵ECA度，∴ECB180度.

∵CD平分∠ECB，∴DCB18090度. 22∵FG∥CD，∴GFBDCB90

2度.

15.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P(1，t)在反比例函数y=的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP，若反比例函数y=的图象经过点Q，则k=____________________________ 【答案】225或225 【考点】反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；分类思想的应用. 【分析】∵点P(1，t)在反比例函数y∴OP=5. ----完整版学习资料分享----

22的图象上，∴t2.∴P(1，2). x1资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

∵过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP， ∴Q15, 2或Q15, 2. ∵反比例函数y

k

的图象经过点Q， x

∴当Q15, 2时，k152225；Q15, 2时，k152225

16.如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=_______________________________ 【答案】23或423. 【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的性质；菱形、矩形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用.

【分析】∵四边形纸片ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠C=30°.

如答图，根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平

行四边形：

如答图1，剪痕BM、BN，过点N作NH⊥BM于点H， 易证四边形BMDN是菱形，且∠MBN=∠C=30°. 设BN=DN=x，则NH=x.

根据题意，得xx2x2，∴BN=DN=2， NH=1.

易证四边形BHNC是矩形，∴BC=NH=1. ∴在RtBCN中，CN=3. ∴CD=23.

如答图2，剪痕AE、CE，过点B作BH⊥CE于点H， 易证四边形BAEC是菱形，且∠BCH =30°. 设BC=CE =x，则BH=x.

根据题意，得xx2x2，∴BC=CE =2， BH=1. 在RtBCH中，CH=3，∴EH=23.

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ABCD第16题12121212资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

易证BCD∽EHB，∴

CDBCCD2，即. 1HBEH23423. ∴CD2232323综上所述，CD=23或423.

三．全面答一答。（本题有7个小题，共66分）

解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解

答写出一部分也可以。 17.（本小题满分6分）

1. 杭州市推行垃圾分类已经多年，但在厨余垃圾中除了厨余类垃圾还混杂着非厨余类垃圾，如图是杭

州市某一天收到的厨余垃圾的统计图 （1）试求出m的值

[来源:Z.xx.k.Com]

（2）杭州市那天共收到厨余垃圾约200吨，请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数

橡塑类22.39%玻璃类0.9%其他类7.55%金属类0.15%

【答案】解：（1）m10022.390.97.550.1569.01.

（2）∵2000.9%1.8，

∴其中混杂着的玻璃类垃圾吨.

【考点】扇形统计图；用样本估计总体.

【分析】（1）由扇形统计图中的数据，根据频率之和等于1计算即可.

（2）根据用样本估计总体的观点，用2000.9%计算即可.

18.（本小题满分8分）

如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M、N分别在AB、AC边上，AM=2MB，AN=2NC，求证：DM=DN

A厨余类m%MBDNC

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【答案】证明：∵AM=2MB，AN=2NC，∴AM又∵AB=AC，∴AMAN.

22AB，ANAC. 33∵AD平分∠BAC，∴MADNAD. 又∵AD=AD，∴AMD≌ANDSAS. ∴DM=DN.

【考点】全等三角形的判定和性质.

【分析】要证DM=DN只要AMD≌AND即可，两三角形已有一条公共边，由AD平分∠BAC，可得

MADNAD，只要再有一角对应相等或AMAN即可，而AMAN易由AB=AC，AM=2MB，

AN=2NC证得.

19.（本小题满分8分）

如图1，⊙O的半径为r(r>0)，若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.

BOP'图1O图2AP

【答案】解：∵⊙O的半径为4，点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，点B在⊙O上， OA=8，

∴OAOA42, OBOB42，即OA842, OB442. ∴OA2, OB4.∴点B的反演点B′与点B重合. 如答图，设OA交⊙O于点M，连接B′M， ∵OM=OB′，∠BOA=60°，∴△OB′M是等边三角形. ∵OAAM2，∴B′M⊥OM.

∴在RtOB' M中，由勾股定理得ABOB2OA2422223.

【考点】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理.

【分析】先根据定义求出OA2, OB4，再作辅助线：连接点B′与OA和⊙O的交点M，由已知∠

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BOA=60°判定△OB′M是等边三角形，从而在RtOB' M中，由勾股定理求得A′B′的长.

20.（本小题满分10分）

设函数y=(x−1)[(k−1)x+(k−3)](k是常数)

（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象

（2）根据图象，写出你发现的一条结论最小值

y[来源学科网]

（3）将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的

x

【答案】解：（1）作图如图：

（2）函数y(x1)[(k1)x(k3)] (k是常数)的图象都经过点（1，0）.（答案不唯一） （3）∵y2(x1)2，

∴将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3为

y2(x3)22.

∴当x3时，函数y3的最小值为2.

【考点】开放型；二次函数的图象和性质；平移的性质.

【分析】（1）当k0时，函数为y(x1)x3(x1)x3，据此作图.

（2）答案不唯一，如：

函数y(x1)[(k1)x(k3)] (k是常数)的图象都经过点；

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函数y(x1)[(k1)x(k3)] (k是常数)的图象总与x轴交于（1，0）； 当k取0和2时的函数时得到的两图象关于（0，2）成中心对称； 等等.

（3）根据平移的性质，左右平移时，左减右加。上下平移时，下减上加，得到平移后的表达式，

根据二次函数的性质求出最值.

21.（本小题满分10分）

“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度

（1）用记号(a，b，c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形

（2）用直尺和圆规作出三边满足a单位长度

【答案】解：（1）（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），

（3，4，4），（4，4，4）.

（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即a2, b3, c4时满足a如答图的ABC即为满足条件的三角形.

【考点】三角形三边关系；列举法的应用；尺规作图.

【分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形.

（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：a2, b3, c4，再作图：

①作射线AB，且取AB=4；

②以点A为圆心，3为半径画弧；以点B为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C； ③连接AC、BC.

则ABC即为满足条件的三角形.

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22.（本小题满分12分）

如图，在△ABC中(BC>AC)，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E （1）若

AD1，AE=2，求EC的长 DB3（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由

CEA【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC.

DB

ADAE. DBECAD121∵，AE=2，∴，解得EC6. DB3EC3∴

（2）①若CFG1ECD，此时线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.证明如下：

∵CFG1ECD，∴CFG1FCP1.

又∵CFG1CG1F90，∴FCP1PCG1190. ∴CG1FPCG11. ∴CP1G1P1.

又∵CFG1FCP1，∴CP1FP1. ∴CP1FP1G1P1. ∴线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.

②若CFG2EDC，此时线段CP2为△CFG2的斜边FG2上的高线.证明如下： ∵CFG2EDC，

又∵DE⊥AC，∴DEC90. ∴ECDEDC90.

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∴ECDCFG2ECDEDC90. ∴CP2⊥FG2. ∴线段CP2为△CFG2的斜边FG2上的高线.

③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.

【考点】平行线分线段成比例的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角形的判定；分类思想的应用. 【分析】（1）证明DE∥BC，根据平行线分线段成比例的性质列式求解即可.

（2）分CFGECD，CFGEDC和CD为∠ACB的平分线三种情况讨论即可.

23.（本小题满分12分）

方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y与t的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h，甲出发0.5小时与乙相遇，⋯⋯，请你帮助方成同学解决以下问题： （1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式； （2）当20（3）分别求出甲、乙行驶的路程S甲、S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；

（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一条公路匀速前往M地，若丙经过h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇.

S(km)1003y(km)CAB11.57图13Dt(h)104t(h)1图2

O【答案】解：（1）设线段BC所在直线的函数表达式为yk1tb1，

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3kb0k14037100211∵B, 0,C, ，∴，解得. 233b1607kb1001133∴线段BC所在直线的函数表达式为y40t60. 设线段CD所在直线的函数表达式为yk2tb2，

1007k220k2b27100, D4, 0∵C, ，∴，解得. 3333b8024k1b10∴线段BC所在直线的函数表达式为y20t80.

（2）∵线段OA所在直线的函数表达式为y20t0t1，∴点A的纵坐标为20.

当20（4）当t4800时，S乙， 33∴丙距M地的路程S丙与时间t的函数关系式为S丙40t800t2.

S60t60联立，解得S甲60t601t<3与S丙40t800t2图象交

S40t80点的横坐标为

7， 5∴丙出发后h与甲相遇.

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【考点】一次函数的图象和性质；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；解方程组和不等式组；分类思想的应用.

【分析】（1）应用待定系数法即可求得线段BC，CD所在直线的函数表达式.

（2）求出点A的纵坐标，确定适用的函数，解不等式组求解即可. （3）求函数表达式画图即可.

（4）求出S丙与时间t的函数关系式，与S甲60t601t<3联立求解.

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