2020年北京卷数学高考试题

数学

本试卷共5页，150分，考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、

选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，

选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A1,0,1,2,Bx0x3，则AB

A. 1,0,1 B. 0,1 C. 1,1,2 D. 1,2

2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2），则iz=

A. 12i B. 2i C. 12i D. 2i 3．在A.-5 B.5 C.-10 D.10

4．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为 A.63 B. 623

x2的展开式中，x2的系数为

5

C. 123 D. 1223

5．已知半径为1的圆经过点3,4，则其圆心到原点的距离的最小值为

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

6．已知函数fx2xx1，则不等式f(x)0的解集是

(A) 1,1

(B) ,11,+ (C) 0,1

(D) ,01,+

7．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线

(A) 经过点O (B) 经过点P (C) 平行于直线OP (D) 垂直于直线OP

8．在等差数列

an中，a=-9，a=-1，记T

1

5

n

a1a2…ann1,2,…,则数列Tn

（A）有最大项，有最小项 （B）有最大项，无最小项 （C）无最大项，有最小项 （D）无最大项，无最小项

9．已知，R，则“存在kZ使得=k1”是“sin=sin”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）.历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值，按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是

（A）3（nsin（B）6（nsin（C）3（nsin（D）6（nsin

第二部分（非选择题 共110分）

3030

） tan

nn3030

）tan

nn6060

） tan

nn6060

） tan

nn

k

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．函数f(x)

1

Inx的定义域是_________. x1

x2y2

1，则C的右焦点的坐标为_________: C的焦点到12．已知双曲线C:

63其渐近线的距离是_________.

1

13．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP(ABAC)，则PD

2



=_________；PBPD=_________.

14．若函数f(x)sin(x)cosx的最大值为2，则常数的一个取值为_________.

15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为Wf(t)，用



f(b)f(a)

的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱。已知整改

ba

期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

① 在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ② 在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③ 在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④ 甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是______.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 综合题分割 16．(本小题13分)

如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BB1的中点，

(Ⅰ)求证: BC1󰀀平面AD1E；

(Ⅱ)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值。

综合题分割 17．(本小题13分)

在󰀀ABC中，ab11, 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为

已知， 求: (I) a的值；

(II) sinC 和󰀀ABC的面积.

综合题分割 18.（本小题14分）

某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方

1

条件①: c7, cosA;

7

条件②: cosA

19，cosB。 816

注:如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

案二。为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

支持

方案一 方案二

200人 350人

男生

不支持 400人 250人

支持 300人 150人

女生

不支持 100人 250人

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立。

（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0。假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小。（结论不要求证明）

综合题分割 19．（本小题15分）

已知函数f(x)12x2。

（Ⅰ）求曲线yf(x)的斜率等于-2的切线方程；

（Ⅱ）设曲线yf(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值.

综合题分割 20．（本小题15分）

x2y2

已知椭圆C:221过点A(2,1)，且a2b。

ab

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点B(4,0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线

x4于点P，Q.求

综合题分割

|PB|

的值. |BQ|

21.（本小题15分）

已知{an}是无穷数列，给出两个性质：

ai2

①对于{an}中任意两项ai,aj(i＞j)，在{an}中都存在一项am，使得am；

aj

ak2

②对于{an}中任意一项an(n3)，在{an}中都存在两项ak,al(k＞l)，使得an.

al（Ⅰ）若ann(n1,2,...)，判断数列{an}是否满足性质①，说明理由； （Ⅱ）若an2n1(n1,2,...)，判断数列{an}是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

（Ⅲ）若{an}是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{an}为等比数列.