抛物型方程差分方法

一.基本内容:(1)椭圆型方程差分方法;(2)抛物型方程差分方法;(3)双曲型方程差分方法;(4)椭圆型方程的有限元方法.二.基本概念:

(1)显式和隐式差分格式,网格比和加密路径;

(2)差分格式的截断误差、相容性、稳定性、收敛性、逼近精度阶和收敛阶;(3)双曲型方程(组)的特征与Riemann不变量,差分格式的依赖区域和CFL条件;(4)差分格式的增长因子和增长矩阵、振幅误差与相位误差、耗散与色散、群速度；(5)双曲守恒方程的弱解与激波传播速度；(6)守恒性与守恒型差分格式、有限体积法；

(7)差分格式的Fourier分析与L2稳定性、最大值原理与L∞稳定性、实用稳定性和强稳

定性、网格的P`eclet数;(8)椭圆边值问题的变分形式与弱解、强制边界条件与自然边界条件；(9)Galerkin方法与Ritz方法,协调与非协调有限元方法；

(10)有限元与有限元空间,有限元插值算子与插值函数,有限元方程与有限元解；(11)有限元的仿射等价与等参等价,有限元剖分的正则性和拟一致性.三.基本方法与技巧:

(1)比较函数与利用最大值原理的误差分析;(2)Taylor展开、Fourier分析、最大值原理；(3)修正方程分析、能量法分析；

(4)充分利用解的守恒性和特征,以及适当处理初始条件与边界条件；

(5)Sobolev空间及其基本性质，如嵌入定理、迹定理,Poincar´e-Friedrichs不等式;(6)仿射等价、多项式不变算子、商空间与商范数、Sobolev空间半范数的关系;(7)Aubin-Nische技巧,bramble-Hilbert引理,双线性引理.四.基本格式:

(1)二维Poisson方程的五点差分格式;

(2)抛物型方程的显式差分格式、隐式差分格式、Crank-Nicolson格式和θ-方法；(3)具有热守恒性质的格式；(4)ADI格式与LOD格式；

(5)双曲型方程的迎风格式、Lax-Wendroff格式、盒式格式和蛙跳格式；

1

(6)守恒型格式、有限体积格式；(7)二阶椭圆型方程C0-类协调有限元方法.五.基本定理与结论:(1)最大值原理,比较定理;(2)Lax等价定理;

(3)CFL条件、vonNeumann条件、实用稳定性和强稳定性条件;(4)Lax-Milgram引理、C´ea引理、第一和第二Strang引理；(5)椭圆型方程有限元解的先验误差估计与收敛性.

2