函数章节自主测试

（总分160分，时间100分钟）

一．填空题（本大题共14小题，每小题6分，共84分） 1.方程lg(x22)lgxlg3的解是x11,x22． 2.已知集合M{xylog1(x1)}，N{x22122x14}，则MN[2,1]．

3.若函数f(x)loga(xx2a)是奇函数，则a=

2222．

4.已知f(x)是偶函数，且在[0，+∞)上是减函数，若f(lgx)f(1)，则x的取值范围是(110,10)．

5.若命题“xR，使得x2(a1)x10x”是真命题，则实数a的取值范围是(,1)(3,)．

6.用二分法求函数f(x)3x4的一个零点，其参考数据如下：

f(1.6000)=0.200 f(1.5625)=0.003 xf(1.5875)=0.133 f(1.5562)=-0.029 f(1.5750)=0.067 f(1.5500)=-0.060 根据此数据，可得方程3x40的一个近似解（精确到0.01）为 1.56 ．

2x1[2,2]，总7.已知函数f(x)的值域为0,4(2,2，)函数g(x)ax1,x[2,，x55x0[2,2，使得]g(x0)f(x1)成立，则实数a的取值范围为,,.

228. 已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x[0,1]时，f(x)x.若在区间[1,3]内，函数

13f(x)kxk1(kR且k1)有4个零点，则k的取值范围是(,0).

9.若直线y=2a与函数y=|a－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是(0,)．

2x11x1(x0),210.设函数f(x)若f(a)a.则实数a的取值范围是 （－∞，－1） ．

1(x0).x211.若f(x)x2ax与g(x)ax1在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的值范围是(0,1]．

5712.函数f(x)满足lnx1f(x)1f(x)，且x1,x2均大于e，f(x1)f(x2)1，则f(x1x2)的最小值

.

13.设f(x)2x,若0ab，且f(a)f(b)，则ab的取值范围是(0,2). 14. 某同学在研究函数 f (x) =

x

() 时，分别给出下面几个结论： 1 + | x |xR②函数 f (x) 的值域为 (－1,1)；

2①等式f(x)f(x)0在xR时恒成立； ③若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)；

④函数g(x)f(x)x在R上有三个零点.

其中正确结论的序号有 ①②③ .(请将你认为正确的结论的序号都填上)

二．解答题（本大题共5小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.已知函数f(x)x28x. 求f(x)在区间t,t1上的最大值h(t).

解：f(x)x28x(x4)216.

当t14,即t3时，f(x)在t,t1上单调递增，

h(t)f(t1)(t1)8(t1)t6t7;

22当t4t1,即3t4时，h(t)f(4)16;

2当t4时，f(x)在t,t1上单调递减，h(t)f(t)t8t.

t26t7,t3,综上，h(t)16,　　　　3t4,

2t8t,　　t416.设a0，函数f(x)exaaex是R上的偶函数．

（1）求a的值；（2）证明f(x)在(0,)上是增函数．

ex解：（1）对一切xR有f(x)f(x)，即

1aaaex1aexae则(ax1a)(ex1ex)0对一切xR成

立．得a0，即a1．

1ex1（2）证明：设0x1x2，f(x1)f(x2)ee由0x1x2，得x2x10，e是增函数．

17.已知函数f(x)log221.

xx2x1x21ex2(ex2e)x11eex1x2x1x2，

ex10，1ex2x10，即f(x1)f(x2)0，故f(x)在(0,)上

（1）求证：函数f(x)在(,)内单调递增；

（2）若关于x的方程log2(21)mf(x)在[1,2]上有解，求m的取值范围. （1）证明：任取x1x2，则

x f(x1)f(x2)log221log22x1x21log222x1x211，

x1x2,02x112x21，

 022x1x2111,log222x1x2110，

f(x1)f(x2)，即函数f(x)在(,)内单调递增.

xx （2） 解法一： mlog221log221log2 ， 当1x2时，

25221x2log12 xx212121x23,131221x35，

13m的取值范围是log2,log2.

35xx2m1 解法二：解方程log221mlog221，得xlog2， m12 1x2,2m11log22， m12 解得 log213mlog2. 35 13m的取值范围是log2,log2.

3518. 已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，

每次购买配料除需支付运输费236元外，还需支付保管费用，其标准如下: 7天以内（含7天），无论重量多少，均按元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天元/千克支付. ．．10．．．．．．．．．．0.03．．．．．．．．．．（Ⅰ）当9天购买一次配料时，求该厂的配料保管费用P是多少元？ （Ⅱ）当x天购买一次配料时，求该厂在这x天中用于配料的总支出．．．y（元）关于x的函数关系式； (Ⅲ)求多少天购买一次配料时，才能使该厂平均每天的总支出最少? ．．．．．．．．（总支出=购买配料费+运输费+保管费）

解:（Ⅰ）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用

p700.03200(12)88 (元)

x （Ⅱ）（1）当x7时 y360x106 （2）当x7时 y360x23236703x70x6[( 2

7x)(8)  =3x321x432 ∴y370x236，x73x321x432，x722

（Ⅲ）设该厂x天购买一次配料时，平均每天的总支出为f(x)元，

370x236，x7xf(x)23x321x432，x7x则

当x7时

f(x)370236x，当且仅当x7时，f(x)有最小值

28267404（元）

当x7时

f(x)3x321x432x2=3(x144x)321393，当且仅当x12时取等号.

又∵393404

综上可知，当x12时，f(x)有最小值393元.

答：（Ⅰ）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用P为88元； （Ⅱ）x天中用于配料的总支出y370x236，x73x321x432，x72；

（Ⅲ）该厂12天购买一次配料时，才能使平均每天的总支出最少，最少费用为393元. 19．定义在R上的函数，对任意x1，x2R，都有f(x1x22)12[f(x1)f(x2)]，则称函数f(x)是R

2上的凹函数．已知二次函数f(x)axx(aR,a0)．

（1）求证：当a0时，函数f(x)是凹函数； （2）对任意x[0,1]有f(x)1，求a的取值范围。 （1）证明：f(a(x1x22x1x22)12[f(x1)f(x2)]a(x1x22)12x1x22)2x1x2212(ax1x1ax2x2)

222)，又a0，故f([f(x1)f(x2)]，

所以当a0时，函数f(x)是凹函数，命题得证.

2axx1,2（2）解：由f(x)1得1axx1，即2对任意x[0,1]恒成立.

axx1.121a(),xx又a0，得解得2a0.

a(1)21.xx