二次型化为标准形的几种方法

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2015届本科毕业论文

题目：二次型化为标准型方法

所在学院：数学科学学院

专业班级：数学与应用数学11-2班 指导教师：艾合买提

答辩日期：2015年5月5日

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目 录

1引言 .......................................................................................................................................................................................... 1 2关于二次型定义 ...................................................................................................................................................................... 1 3二次型化为标准型的方法 ...................................................................................................................................................... 6 3.1正交变换法 ....................................................................................................................................................................... 6 3.2. 配方法 ........................................................................................................................................................................... 10 3.3.初等变换法 ..................................................................................................................................................................... 12 3.4.雅可比方法 ..................................................................................................................................................................... 15 3.5.偏导数法 ......................................................................................................................................................................... 17 4.小结 ........................................................................................................................................................................................ 23 参考文献 ................................................................................................................................................................................... 24 致谢 ........................................................................................................................................................................................... 25

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二次型化为标准形的几种方法

摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。

关键词：正交变换法； 配方法 ；初等变换法 ；雅可比方法 ；偏导数法

Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard

Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula.

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Key words: orthogonal transform method ; match method ;elementary transformation; jacobian method ;partial derivative method

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1引言

二次型是代数学中的一个重要问题，它在数学中占有重要地位，在实际生活中也有着广泛的应用。其中二次型的一个很重要的问题就是将二次型化为标准型问题。针对这一问题，本文将逐一列举五种化二次型为标准型的方法，分别是：正交变换法、配方法、初等变换法、雅克比方法、偏导数法。并且将具体给出每种方法的特点及适用范围，并给出例题。

2关于二次型定义

定义2.1.1 设V是数域K上的向量空间，如果V中任意一对有序向量(,)都按照某一法则

f对应于K内唯一确定的一个数，记作f(,)，且

(i)对任意k1，k2K，1，2，V，有 f(k11k22,)=k1f(1,)+k2f(2,)； (ii)对任意l1，l2 K，，1，2V，有 f(,l11l22)=l1f(,1)+l2f(,2)； 则称f(,)是V上的一个双线性函数.

定义2.1.2 设V是数域K上的向量空间，f(,)是V上的一个双线性函数.如果V中任意一对有序向量(,)有f(,)=f(,)，则称f(,)是V上的一个对称双线性函数.

定义2.1.3 设V是数域K上的线性空间，f(,)是V上双线性函数，当时，V上函

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数

Qf()f(,)称为f(,)对应的二次型函数.

A(aij)nn,,...,n给定V上一组基12，设f(,)的度量矩阵为，对V中任一向量

xiii1n有

f(,)i1naj1nijxixj. (1)

ijji这式中

B(aij)nnxixj的系数.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为，i,j1,2...nA(aij)nn，及

,只有

ijjibijbji.

所以其所对的二次齐次函数是相同的，得到很多双线性函数可以对应于相同二次齐次函数，现要求A为对称矩阵，就相当于使双线性函数对称，则一个对称双线性函数只与一个二次齐次函数对应.从(1)我们可以得到：一个二次齐次函数的坐标表达式其实和二次型等价，又因为它与对称矩阵相对应，所以这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数的度量矩阵.

Qf()f(,)=XAX=i1aj1nnijxixj(aijaji).

定义2.1.4 设K是一个数域，

aijK,nx2，，xn个文字x1，的二次齐次多项式

f(x1,x2,,xn)a11x122a12x1x22a13x1x32a1nx1xn

22a22x22a23x2x32a2nx2xn

.



2annxn =

ai1j1nnijxixj

(aijaji,i,j1,2,,n).

称为数域K上的n元二次型，简称二次型.当

aij实数时，称f为实二次型.当

aij复数时，称f为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即

f(x1,x2,,xn)=

22d1x12d2x2dnxn.

称f为标准型.

Q(),,...,n 总之，数域K上的二次型f就是V内一个二次型函数f在基12下的解析表达

式.即V内取定一组基之后，就使V内全体二次型函数成的集合之间建立起一一对应关系.

Qf()所成集合和数域K上n元二次型f所

Q()由于数域K上二次型f与二次型函数f一一对应，因此关于对称双线性函数所得到的结

果可以直接用到二次型f上来.A的主对角线上的元素依次为二次型的平方项的系数，而A的第i行第j列元素

aaij(ij)xxa是交叉项ij的系数的一半，再取ij=ji(ij)即得到对称矩阵A.于是这

个二次型就可以用矩阵形式表示为f(x1,x2,,xn)=XAX.

例1 写出二次型

22f(x1,x2,x3)2x124x22x36x1x28x1x34x2x3

.

所对应的矩阵？

解

234A342422

定义2.3.1 对称矩阵A分别施行以下三种变换，统称为矩阵的初等保号变换：

(i) 交换A的某两行（列）；

(ii) 用一个正数k0乘A的某一行（列）；

(iii) 用一个正数k0乘A的某一行（列）加到另一行（列）；

易见矩阵的初等保号变换不改变二次型的正定性，负定性，半正定型，半负定性.

引理1 非退化线性替换不改变实二次型的负定，正定，半正定，半负定，不定.

C0证明 设g(x1,x2,,xn)=XAX是负定二次型，并且XCY () 是非退化线性替换.

g(x1,x2,,xn)=XAX，f(y1,y2,yn)YBY (BCAC)，

k1c1k1kck22n0RC2kckn， 并且对任意n，n

.

结果

f(k1,k2,kn)g(c1,c2,,cn)0

，即f(y1,y2,yn)是负定二次型.

反之设f(y1,y2,yn)是负定：

f(y1,y2,,yn)YBYYC1Xg(x1,x2,xn)XAX

其中

C110C

于是得到g(x1,x2,,xn)XAX是负定的，也就是非退化线性替换不会改变正定二次型的负定性. 同理，非退化线行替换不改变正定二次型的半负定、半正定性、和不定性。

例2 判断正定二次型

2f(x1,x2)x122x1x2x2

、在非退化线性替换能否改变二次型的正定性？

解：

.

2f(x1,x2)x122x1x2x2x1x22

故作非退化线性替换

y1x1x2y2x2，便得

2x122x1x2x2y12

因此上面例子可以看出二次型在非退化线性替换下还是正定二次型.

从此推出：

实二次型f(x1,x2,,xn)的“负定性，正定性，半负定性，半正定性以及不定性”是非退化线性变换下的一个不变性质.

3二次型化为标准型的方法

3.1正交变换法

根据二次型的性质，则必可以通过一个适当变换将二次型化为只含有平方项的形式

定理1 任意一个实二次型i1aj1nnijxixj，

aijaji都可以经过正交的线性替换变成平方和

1y122y22nyn2

其中平方上的系数1,2,,n就是矩阵A的本征多项式的全部的根。下面讨论通过正交变换法化二次型为标准型的步骤。

TfXAX并写出矩阵A。 ○1将实二次型表示成矩阵形式

.

○2求出矩阵A的所有本征值1,2,,n，可能会出现多重本征值，分别记它们的重数为

k1,k2,,knk1k2knn

○3对于每个本征值所对应的本征向量1,2,,n，通过方程1EAX0，能求出和1对应的k1个线性无关的本征向量。同理，对其他的本征值2,,n也是采用此方法求出与之对应的本征向量。因为k1k2knn，所以一共能出n个本征向量。

○4将所求出的n个本征向量1,2,,n先后施行正交化，单位化得到1,2,,n，记为

C1,2,,n

T○5作正交变换XCY,则得二次型f的标准形

f1y12y2nyn

222例1用上面所述的方法化下面的二次型

fx1,x2,x3x12x23x34x1x24x2x3

222为标准形。

解：（1）首先写出原二次型的矩阵

1-20A-22-20-23

.

A的特征多项式

201EA2-22-2-5102-3

从而得A的特征值为12,25,31

（2）求特征向量，将12带入EAX0中，得到方程

3x12x202x12x302xx032

T-2,1,21解此方程可得出基础解系，同样地，分别把25，31

带入EAX0中，解方程能够得出与25，31对应的基础

T， 32,2,1 1，-2,2解系依次为2T（3）将所求出的特征向量正交化，方法如下：

令

11-2,1,2T

.

222,111,-2,2T1,1

333,1,13222,2,11,12,2

（4）将已正交的向量组单位化，如下：

令

iii i1,2,3

于是能够得到

T2121-3，3，3，

12223，-3，3，所以

212-333C122-333221333

于是所求正交变换为

22133，3，3 

.

x11111y1x211111y2x21111y331111yx4 4原二次型化为

f2y17y2y3y4

22223.2. 配方法

配方法实质是将二次型中不是平方项的各项通过配平方式全部配成平方项，然后再通过非退化线性替换，将二次型化为标准型，这种方法在化二次型为标准型的题目中是一种常见方法。

定理2数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和

d1x1d2x2...dnx2

22的形式。下面讨论用配方法化二次型为标准型的方法。

使用配方法化二次型为标准形时，视具体情况又可以将二次型分为下面两种不同的情形：

○1当此二次型中含有xi平方项时，先将非平方项找出来，然后配方，剩余项再次配方，一直到所以项均为平方项，最后利用非退化线性替换将二次型化为标准型。

aij0ij○2如果所给二次型中不含有xi平方项，但是造出平方项，可以先做出可逆的线性变换

,我们就可以用前面所提到的方法构

.

xiyiyjxjyiyj,k1,2,...,n且ki,j.......xykk

代入到原二次型中，这时二次型中就含有平方项了，然后再按照上述○1中的方法进行配方。

例2 用上述所给出的方法化二次型

fx1,x2,x3x12x1x22x24x2x3

22为标准形，写出所用的变换矩阵。

解：因为此二次型中含有平方项，因此用第一种办法。此过程为：

fx1,x2,x3x12x1x2x2x24x2x34x34x3x1x2x22x34x3

22222222于是作非退化的线性替换：

x1y1y22y3y1x1x2yxx2x2y22y312yxxy3333

即

x1112y1x2012y2x0013y3

.

于是就得到

fx1,x2,x3y1y24y3

222所用的变换矩阵为

1-12C01-2001

且有

3.3.初等变换法

将二次型一般型式化为标准型的问题实质是一个通过有限多个可逆的线性替换将二次型中的所有元逐渐配方的问题。将这个过程通过矩阵形式表示，就是第三中方法：初等变化法。这种方法将二次型的矩阵通过有限次初等行、列变换，将二次型化为与其合同的对角矩阵。

定理3在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵。

定理4 对每个实对称矩阵A，存在初等矩阵P1P2PS使得

TPSP2P1AP1P2PSdiagd1,d2,,dn TT根据初等矩阵的有关性质知，用初等矩阵左乘A相当于对A作一次初等行变换；用初等矩阵右乘A相当于对A作一次初等列变换，再结合定理3知，对初等矩阵施行一个初等行变换，同时要对矩阵作一次相应的列变换，以保证每对变换作过以后得到的矩阵与原来的矩阵相合。

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下面我们讨论用初等变换法将二次型化为标准型的步骤

AEfx1,x2,,xn○1写出二次型的矩阵A,让A与E构造2nn矩阵

○2对A进行初等行变换和相同的初等列变换，化成与A合同形式上简单的矩阵，直至将A化成对角矩阵；但是对E只进行其中的列变换。

○3写出○2过程中所进行的一系列可逆线性变换XCY化原二次型为

fx1,x2,,xnYDY

为理解方便，此过程可用图表示如下

A对A进行同样的初等行变换和初等列变换D------E对E只进行其中的列变换C

例4：

fx1x2x3x13x22x1x24x1x32x2x3

22用初等变换法化为标准型，并写出其非退化线性变换。

112A101213 解：由题可知二次型的矩阵为

.

所以可得：

11A2E1001200101001c2c1011010011cc0013c32c1032，故非退化线性变换00r2r1112r3r211201011022r2r1301110000

x1111y1x0112y2x001y33

fy1y2。

22化二次型为

注：此法与求逆矩阵的初等变换法很相似，要注意区别。

例5 用上述方法将二次型

fx1，x2，x3x12x2-2x1x24x2x33x3

222解：首先写出二次型fx1，x2，x3的矩阵

11-2A122-123

然后构造出63矩阵

.

11A-1E1001-111-110022c2c1013010032cc00-723c32c13200r2r1100r3r211401001-310r2r1301001001

114C013001,最后作可逆线性替换XCY，则 从上过程可以看出

100fx1，x2，x3Y010Y007

3.4.雅可比方法

此种方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式（也即雅可比行列式）来确定标准形中各平方项的系数 。这种方法较为简便，但是有条件限制，它需要二次型的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零。下面我们讨论用雅克比方法将二次型化为标准型的步骤。

设二次型

fi,j1anijxixj，

aijaji，首先将二次型写成fx1，x2，x3XAX的形式，写出矩阵

A，如果A的顺序主子式Ai0i1,2,,n，即

.

a11A1a11,A2a11a21a12a22,An1a21an11a12a22an22a1n1a2n2an1n1

，

a11a21Anan1a12a22an2a1na2nann

都不等于零，那么二次型fx1,x2,,xn必可以化为如下的标准形：

fx1,x2,,xnA1y12A2A1y22AnAn1yn2

例5 用雅可比方法将二次型

fx1，x2，x3x12x22x1x24x2x33x3

222化为标准形。

解：首先写出二次型fx1，x2，x3的矩阵A，

11-1A122-123

.

然后分别求出A的顺序主子式：

11A2121A11， ，

111A31227123

fx1,x2,x3A1y12A2A1y22A3A2y3y1y2y32222

3.5.偏导数法

偏导数法与配方法类似，是通过函数与偏导数的关系来化二次型为标准型。偏导数法相对于配方法优势在于其稳定性，因为配方法需要考察解题者的观察力，偏导数法则有着固定方式，所以对于解题方面更加稳定。下面我们来讨论用偏导数法化二次型为标准型的方法。

与配方法类似，运用此方法时，同样也要将二次型分两种情形来讨论。

情形1 如果二次型fx1,x2,,xn中含有xi的平方项，即aiii1,2,,n至少有一个不为零时，

1fff12x1，再根据 不妨设a11不等于零，首先求出f对x1的偏导数x1，则有

fx1,x2,,xn1f12ga11

gx21f2x2，通过计算对比可以得出g，此时g中已不含x1，再求出g对x2的偏导数

，记

g1，

.

此时

1f121g12ua11a22

fx1,x2,,xn2fx1,x2,,xnx12xaag21122，（为中的系数， 为中的系数），u中已不含x2，照这种程序继

续运算，最终可将二次型化为标准形。

情形2 如果二次型fx1,x2,,xn中不含xi的平方项，即所有的aiii1,2,,n全等于零，但是

faj1至少有一1j不等于零，不妨设a12不等于零，首先求出f对x1的偏导数x1，f对x2的偏导f1f1ff1f22x1， 2x2，此时 数x2，令

fx1,x2,,xn1a12f1f2f1f222

，其中已不含x1,x2的项。考虑的形式，假如中存在xi的平方项，就利用上述情形1方法进行，假如中依旧不含xi的平方项，就继续按上述的步骤计算，最后将目标二次型化为标准型。

例6 用偏导数法化二次型

fx1，x2，x3x12x22x1x22x2x34x3

222为标准形。

.

解：原二次型中含有xi的平方项，符合情形1，首先求出f对x1的偏导数

f1f2x12x2f1x1x2x12x1，

1f12gx1x22ga11

fx1，x2，x3整理并与原二次型对比可得到

22gx24x32x2x3

再求出g对x2 的偏导数

g1g2x2x3,g1x2x3x22x2

1f121g125x32x1x22x2x325x32a11a22

fx1，x2，x3令

x1y1y2y3y1x1x2yxx2x2y2y323yxxy3333

.

于是

22fx1,x2,x3y1y25y3

2所用的变换矩阵为

111C011001

且有

100110111110121011C'AC=111014001

100010005  例7 用偏导数法化二次型f(x,x2,x3)4x1x22x1x32x2x3为标准形。

解：由于所给的二次型中无xi平方项，符合情形2，分别求出f对x1的偏导

fx1fx2数

，f对x2的偏导数

ffx14x22x3，x24x12x3

.

f11f1ff22x1x32x12x2x3，2x2

f(x,x2,x3)

122f1f2f1f2a12

x32整理上式并与原二次型作对比，可得

于是能得到

f(x,x2,x3)

12222x32x12x22x12x2x34



2x3x1x2x1x2x322

22y12y2y3

令

y1x1x2x3y2x1x2y3x3

.

111xyyy3121222111x2y1y2y3222x3y3

可以得到所用的可逆矩阵为

且有

12C'AC1212100010 001 111222C111222001

12012120021201111102210

1122112201

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4.小结

从以上的讨论我们可以看出正交化方法是通过任意一个二次型都可以通过一个正交线性替换化为各项为平方和的形式这一性质最终将二次型化为标准型的。这种方法计算步骤较为复杂，不过有着规定的步骤，所以是化二次型问题中常用的方法。配方法是通过配方的方法将二次型中不是平方的项都配成平方项，再通过一个非退化线性替换化为标准型，这种方法也是较为常用。但是要注意使用配方法时首先要观察二次型中是否含有平方项，如果有，则使用上文中的第一种方法，如果没有，全是混合项，则使用上文中第二种方法。初等变化法实质是通过有限多线性替换将二次型中的所以元逐渐配方，最后化为与其合同的对角矩阵，这种方法也是较为常用，但不适用于高阶的二次型矩阵，计算量巨大、繁琐。雅克比方法是利用二次型的矩阵法的顺序主子式来确定标准型中各平方项的系数。这种方法比较简单，但是有条件限制，即所以二次型矩阵顺序主子式要求不为0.最后一中偏导数法则是将化二次型为标准型问题与导数思想结合在一起，这种方法有着固定的步骤，所以对于解题方面更加稳定。

当然，我们也不能仅仅将二次型当作一个理论的问题去研究，任何一门学科脱离现实世界，没有现实意义，它都是无意义的，而二次型在很多工业计算中会用到，因此它的现实价值也是不容小觑的，我们要学会运用我们掌握到的知识并将其联系到实践中，为人类创造更大的价值。

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参考文献

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[10]Jane M. Day, Dan Teaching Linear Algebra: Issues and Resources[J].The College Mathematics Journal.2001.

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致谢

大学四年学习时光感觉过的非常快，真所谓来也匆匆，去也匆匆，美好的大学生活也已经即将结束，在此我想对我的母校，我的父母、亲人们，我的老师和同学们表达我由衷的谢意。感谢我的家人对我大学四年学习的默默支持;感谢我的母校新疆师范大学给了我在大学阶段深造的机会，让我能够在高等学府继续学习和提高;感谢教过我的所有的老师和同学们四年来的默默关心和热心的帮助。他们和我共同度过了四年美好而难忘的大学时光

老师们课堂上的激情洋溢，课堂下的谆谆教诲;同学们在学习中的认真热情，生活上的热心主动，所有这些都让我的四年充满了温暖和阳光。

这次毕业论文设计我得到了很多老师和同学的帮助，其中我的论文指导老师艾合买提老师对我的关心和支持尤为重要。从论文初稿确定之后，几乎每个星期都会让我们到办公室集中点评一次，每次我们交上去的修改版老师都会仔细认真的审阅，每次遇到难题，我最先做得就是向艾合买提老师寻求帮助，而艾合买提老师每次不管忙或闲都会面带笑容，不管我们做的对不对，当然就算老师不说，我们也有自知之明，是老师给我们面子，保留我们的尊严。拥有这样的老师，我感到很幸运。总会抽空来找我面谈，然后一起商量解决的办法。

我做毕业设计的每个阶段，从选题到查阅资料，论文提纲的确定，中期论文的修改，后期论文格式调整等各个环节中都给予了我悉心的指导。这几个月以来，艾合买提老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想给我以无微不至的关怀，在此谨向艾老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。向帮助过我的所有老师和同学表示衷心的感谢感谢!